Determine L^{-1}(F(s)), onde
F(s) = (2s + 1) / (s * (s^2 + 9))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a transformada inversa de Laplace de . Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace, que são super úteis para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais e depois aplicar as tabelas de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Isso significa que vamos escrever como a soma de termos mais simples que podemos transformar de volta facilmente.
Então, assumimos que:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
  • De , temos .
  • De , substituindo :
  • Já sabemos que .

Passo 5

Agora, substituímos os valores de , e na decomposição de frações parciais:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:
  1. corresponde a , porque .
  2. corresponde a , já que com .
  3. corresponde a , porque com .

Resposta

Portanto, a transformada inversa de é:

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