Determine
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a transformada inversa de Laplace de
. Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace, que são super úteis para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais e depois aplicar as tabelas de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como a soma de termos mais simples que podemos transformar de volta facilmente.
Então, assumimos que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
- De
, temos . - De
, substituindo : - Já sabemos que
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores de
,
e
na decomposição de frações parciais:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:
-
corresponde a , porque . -
corresponde a , já que com . -
corresponde a , porque com .
Resposta
Portanto, a transformada inversa de
é: