A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
a)
a)
Passo 1
Então, a gente tem que escrever a série de Maclaurin para a função
. A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de
. Para resolver isso, vamos usar a série de Maclaurin da função seno e ajustar para o nosso caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para
. Ela é dada por:
Aqui,
é uma variável que podemos substituir conforme a necessidade.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Então, substituindo
por
na série de Maclaurin da seno, fica:
Simplificando os expoentes, temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Vamos dividir cada termo da série por
:
Resposta
Portanto, a série de Maclaurin para
é:
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Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
a) .
a)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
p)
p)
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
d)
d)
Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
c) em
.
c)