A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
a) f(x) = sen(x^2) / x^2

Passo 1

Então, a gente tem que escrever a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de . Para resolver isso, vamos usar a série de Maclaurin da função seno e ajustar para o nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para . Ela é dada por:
Aqui, é uma variável que podemos substituir conforme a necessidade.

Passo 3

No nosso caso, temos . Então, substituindo por na série de Maclaurin da seno, fica:
Simplificando os expoentes, temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar . Vamos dividir cada termo da série por :

Resposta

Portanto, a série de Maclaurin para é:

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