Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
d) sum x^n sen 1n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos de convergência da série:
Aqui, vamos trabalhar com sucessões e séries de potências. Precisamos descobrir para quais valores de sum x^n cdot sen 1n essa série converge. Vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Raiz, que diz:
an = x^n cdot sen 1né
limsupn to infty raiz[n]|an| < 1 Rightarrow a série conver>=é
limsupn to infty raiz[n]|an| > 1 Rightarrow a série diver>=

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz no nosso termo geral:
Note que limsupn to infty raiz[n]|x^n cdot sen 1n| = limsupn to infty |x| cdot raiz[n]sen 1n é constante em relação a = |x| cdot limsupn to infty raiz[n]sen 1n, então podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos analisar . Sabemos que quando sen 1n approx 1n é grande, raiz[n]sen 1n approx raiz[n]1n = (1n)^1n é pequeno, e para valores pequenos de limn to infty (1n)^1n = 1, . Então:
Portanto,
E sabemos que:
limsupn to infty raiz[n]sen 1n = 1
Então,

Passo 5

Voltando ao nosso limite:
limsupn to infty raiz[n]|an| = |x| cdot 1 = |x|
Agora, aplicamos o teste:
  • Se sum sen 1n, então , a série converge.
  • Se , então , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo. Nesse caso, temos a série:
Sabemos que , e a série é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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