Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos de convergência da série:
Aqui, vamos trabalhar com sucessões e séries de potências. Precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Raiz, que diz:
é
é

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz no nosso termo geral:
Note que é constante em relação a , então podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos analisar . Sabemos que quando é grande, é pequeno, e para valores pequenos de , . Então:
Portanto,
E sabemos que:
Então,

Passo 5

Voltando ao nosso limite:
Agora, aplicamos o teste:
  • Se , então , a série converge.
  • Se , então , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo. Nesse caso, temos a série:
Sabemos que , e a série é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados

A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
a)
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
a) .
Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
c) em .
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
c)