Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos de convergência da série:
Aqui, vamos trabalhar com sucessões e séries de potências. Precisamos descobrir para quais valores de
essa série converge. Vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Raiz, que diz:
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz no nosso termo geral:
Note que
é constante em relação a
, então podemos simplificar:
Passo 4
Agora, vamos analisar . Sabemos que quando
é grande,
é pequeno, e para valores pequenos de
, . Então:
Portanto,
E sabemos que:
Então,
Passo 5
Voltando ao nosso limite:
Agora, aplicamos o teste:
- Se
, então , a série converge. - Se
, então , a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo. Nesse caso, temos a série:
Sabemos que , e a série
é a série harmônica, que diverge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.