II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
p) f(x) = (1 - x) ln(1 + x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função . A gente vai usar séries de Maclaurin, que são expansões de funções em torno de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função e depois multiplicar pela parte .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função . A série é dada por:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série pela parte . Ou seja:
Vamos distribuir o dentro da soma:

Passo 4

Para simplificar, vamos ajustar os índices da segunda soma. Vamos mudar o índice de para na segunda soma:
Agora, podemos escrever tudo em termos de uma única soma:
Simplificando ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original da converge para . Como multiplicamos por , que é um polinômio, o raio de convergência não muda. Portanto, o raio de convergência da série de Maclaurin de também é .

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é .

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