II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
p)
p)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. A gente vai usar séries de Maclaurin, que são expansões de funções em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função
e depois multiplicar pela parte
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função
. A série é dada por:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série pela parte
. Ou seja:
Vamos distribuir o
dentro da soma:
Passo 4
Para simplificar, vamos ajustar os índices da segunda soma. Vamos mudar o índice de
para
na segunda soma:
Agora, podemos escrever tudo em termos de uma única soma:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original da
converge para
. Como multiplicamos por
, que é um polinômio, o raio de convergência não muda. Portanto, o raio de convergência da série de Maclaurin de
também é
.
Resposta
A série de Maclaurin da função
é:
E o raio de convergência dessa série é
.
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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
k)
k)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
f)
f)
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
a) .
a)
A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
a)
a)