II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
p)
p)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. A gente vai usar séries de Maclaurin, que são expansões de funções em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função
e depois multiplicar pela parte
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função
. A série é dada por:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série pela parte
. Ou seja:
Vamos distribuir o
dentro da soma:
Passo 4
Para simplificar, vamos ajustar os índices da segunda soma. Vamos mudar o índice de
para
na segunda soma:
Agora, podemos escrever tudo em termos de uma única soma:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original da
converge para
. Como multiplicamos por
, que é um polinômio, o raio de convergência não muda. Portanto, o raio de convergência da série de Maclaurin de
também é
.
Resposta
A série de Maclaurin da função
é:
E o raio de convergência dessa série é
.