Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
a) S = -1/4 + 1/8 - 1/16 + 1/32 + ....

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar a série usando a notação de somatório. Depois, temos que verificar para quais valores essa série converge, usando séries de Maclaurin que vimos em aula. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observando os termos:
A cada termo, o sinal alterna entre negativo e positivo, e o denominador dobra. Isso indica que estamos lidando com uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante .

Passo 3

Vamos determinar a razão da nossa série. Observando os termos:
Então, a razão é .

Passo 4

Agora, vamos escrever a série em notação de somatório. Sabemos que uma série geométrica pode ser escrita como:
é
No nosso caso, o primeiro termo é , então a série fica:

Passo 5

Agora, vamos verificar para quais valores essa série converge. Para uma série geométrica infinita, sabemos que ela converge se a razão satisfaz:
No nosso caso, , e:
Então, a série converge.

Passo 6

Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo e :

Resposta

A série pode ser expressa como e converge para .

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