Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar a série usando a notação de somatório. Depois, temos que verificar para quais valores essa série converge, usando séries de Maclaurin que vimos em aula. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observando os termos:
A cada termo, o sinal alterna entre negativo e positivo, e o denominador dobra. Isso indica que estamos lidando com uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante .

Passo 3

Vamos determinar a razão da nossa série. Observando os termos:
Então, a razão é .

Passo 4

Agora, vamos escrever a série em notação de somatório. Sabemos que uma série geométrica pode ser escrita como:
é
No nosso caso, o primeiro termo é , então a série fica:

Passo 5

Agora, vamos verificar para quais valores essa série converge. Para uma série geométrica infinita, sabemos que ela converge se a razão satisfaz:
No nosso caso, , e:
Então, a série converge.

Passo 6

Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo e :

Resposta

A série pode ser expressa como e converge para .

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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
p)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
k)
A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
a)
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
d)