Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
c) em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a série converge absolutamente no intervalo , onde . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e convergência absoluta, que são tópicos de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque, se uma série converge absolutamente, então ela também converge normalmente.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série dada: . Para verificar a convergência absoluta, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 4
Como está no intervalo e , temos que . Vamos usar o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. O teste da raiz nos diz que a série converge absolutamente se:
Passo 5
Aplicando o Teste da Raiz na nossa série:
Vamos calcular a raiz k-ésima de :
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a 1 quando tende ao infinito, porque qualquer número positivo elevado à potência tende a 1 conforme cresce.
Então, temos:
Passo 7
De acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente se:
Como sabemos que e , então é sempre verdadeiro nesse intervalo.
Resposta
Portanto, a série converge absolutamente no intervalo , onde .