Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
c) sumk=0^infty x^k2 k+1 em [-r ; r] ; 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a série converge absolutamente no intervalo , onde . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e convergência absoluta, que são tópicos de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque, se uma série converge absolutamente, então ela também converge normalmente.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série dada: sumk=0^infty | x^k2k+1 | = sumk=0^infty |x|^k2k+1 . Para verificar a convergência absoluta, vamos considerar a série dos valores absolutos:

Passo 4

Como limk to infty raiz[k]|ak| < 1 está no intervalo e , temos que . Vamos usar o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. O teste da raiz nos diz que a série converge absolutamente se:

Passo 5

Aplicando o Teste da Raiz na nossa série:
ak = |x|^k2k+1
Vamos calcular a raiz k-ésima de raiz[k]ak = raiz[k]|x|^k2k+1 = raiz[k]|x|^kraiz[k]2k+1 = |x|raiz[k]2k+1 :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando limk to infty |x|raiz[k]2k+1 tende ao infinito:
limk to infty |x|1 = |x|
Sabemos que tende a 1 quando tende ao infinito, porque qualquer número positivo elevado à potência tende a 1 conforme cresce.
Então, temos:

Passo 7

De acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente se:
|x| < 1
Como sabemos que e , então é sempre verdadeiro nesse intervalo.

Resposta

Portanto, a série converge absolutamente no intervalo , onde .

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