A base de um sólido é o círculo
. Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao cixo
são triângulos equiláteros.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume. A base do sólido é um círculo definido pela equação
. Sabemos que as seções retas perpendiculares ao eixo
são triângulos equiláteros. Para encontrar o volume desse sólido, vamos utilizar conceitos de geometria e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base do sólido. A equação
representa um círculo com raio
no plano
. Isso significa que, para cada valor de
, o valor de
varia de
a
.
Passo 3
As seções perpendiculares ao eixo
são triângulos equiláteros. Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais. A base desse triângulo, que está ao longo do eixo
, tem comprimento
, pois o valor de
varia de
a
.
Passo 4
A área de um triângulo equilátero com lado
é dada pela fórmula:
Neste caso, o lado
é igual à base do triângulo, que é
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da área:
Portanto, a área do triângulo em função de
é
.
Passo 6
Para encontrar o volume do sólido, devemos integrar a área
ao longo do eixo
, de
a
:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 7
Calculando a integral:
Passo 8
Multiplicando pela constante
:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
.
Seja
uma função contínua, com
, para todo
. Apresente os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por
Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.
Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.