A base de um sólido é o círculo . Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao cixo são triângulos equiláteros.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume. A base do sólido é um círculo definido pela equação . Sabemos que as seções retas perpendiculares ao eixo são triângulos equiláteros. Para encontrar o volume desse sólido, vamos utilizar conceitos de geometria e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base do sólido. A equação representa um círculo com raio no plano . Isso significa que, para cada valor de , o valor de varia de a .

Passo 3

As seções perpendiculares ao eixo são triângulos equiláteros. Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais. A base desse triângulo, que está ao longo do eixo , tem comprimento , pois o valor de varia de a .

Passo 4

A área de um triângulo equilátero com lado é dada pela fórmula:
Neste caso, o lado é igual à base do triângulo, que é .

Passo 5

Substituindo na fórmula da área:
Portanto, a área do triângulo em função de é .

Passo 6

Para encontrar o volume do sólido, devemos integrar a área ao longo do eixo , de a :
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 7

Calculando a integral:

Passo 8

Multiplicando pela constante :

Resposta

O volume do sólido é .

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