Seja
uma função contínua, com
, para todo
. Apresente os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função contínua
que é sempre positiva,
, para todo
. O objetivo é determinar os intervalos onde a função dada por
está crescendo e decrescendo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada de funções definidas por integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Pela Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis, temos:
Passo 3
Vamos calcular a derivada dentro da expressão:
Então, a derivada de
fica:
Passo 4
Sabemos que
para todo
, então o sinal de
depende apenas de
. Podemos fatorar essa expressão:
Agora, vamos analisar o sinal de
:
- Quando
: é negativo e é negativo, então o produto é positivo. - Quando
: é negativo e é positivo, então o produto é negativo. - Quando
: é positivo e é positivo, então o produto é positivo.
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
.
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Encontre os valores de a tais que a reta
divida a região sob a curva
, com
, em duas partes tais que uma delas tenha o triplo da área da outra.
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Calcule
, sendo
.
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. Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao cixo
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