Seja uma função contínua, com , para todo . Apresente os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função contínua que é sempre positiva, , para todo . O objetivo é determinar os intervalos onde a função dada por
está crescendo e decrescendo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada de funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Pela Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis, temos:

Passo 3

Vamos calcular a derivada dentro da expressão:
Então, a derivada de fica:

Passo 4

Sabemos que para todo , então o sinal de depende apenas de . Podemos fatorar essa expressão:
Agora, vamos analisar o sinal de :
  • Quando : é negativo e é negativo, então o produto é positivo.
  • Quando : é negativo e é positivo, então o produto é negativo.
  • Quando : é positivo e é positivo, então o produto é positivo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo .

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