Seja f uma função contínua, com f(t)>0, para todo t in R. Apresente os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por
F(x)=integral1^x^3+3 x^2 f(t) d t

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função contínua F(x) = integral1^x^3 + 3x^2 f(t) , dt que é sempre positiva, , para todo . O objetivo é determinar os intervalos onde a função dada por
está crescendo e decrescendo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada de funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de F'(x) = f(x^3 + 3x^2) cdot ddx(x^3 + 3x^2) em relação a . Pela Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis, temos:

Passo 3

Vamos calcular a derivada dentro da expressão:
ddx(x^3 + 3x^2) = 3x^2 + 6x
Então, a derivada de F'(x) = f(x^3 + 3x^2) cdot (3x^2 + 6x) fica:

Passo 4

Sabemos que 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) para todo , então o sinal de depende apenas de . Podemos fatorar essa expressão:
Agora, vamos analisar o sinal de :
  • Quando : é negativo e é negativo, então o produto é positivo.
  • Quando : é negativo e é positivo, então o produto é negativo.
  • Quando : é positivo e é positivo, então o produto é positivo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo .

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