Desenhe as regiões limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a região Ω delimitada pelas curvas , e (que é o eixo y). Depois, temos que calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo y. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região Ω:
  • A curva é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
  • A curva é uma reta horizontal que corta o eixo y no ponto (0,4).
  • A curva é simplesmente o eixo y.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites da nossa região.

Passo 3

Para encontrar a interseção entre e , igualamos as duas equações:
Então, as curvas se encontram no ponto (2,4).

Passo 4

Agora, vamos visualizar a região Ω:
  • Ela está entre (eixo y) e .
  • Na vertical, vai de até .

Passo 5

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação de Ω em torno do eixo y, podemos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo que é paralelo ao eixo de integração.

Passo 6

A fórmula do volume usando o método das cascas cilíndricas é:
onde:
  • é a distância do elemento à rotaçã
  • é a altura da casca cilíndrica

Passo 7

No nosso caso:
  • e (limites de integração em x)
  • A altura é a diferença entre e :

Passo 8

Substituindo na fórmula:

Passo 9

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 10

Calculando os limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido ao girar a região Ω em torno do eixo y é unidades cúbicas.

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Desenhe as regiões limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo .
A base de um sólido é o círculo . Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao cixo são triângulos equiláteros.
A região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pelas retas e é girada em torno do eixo . Calcule o volume do sólido resultante.
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é a metade direita do círculo .