Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a região Ω delimitada pelas curvas
,
e
(que é o eixo y). Depois, temos que calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo y. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região Ω:
- A curva
é uma reta que passa pela origem com inclinação 2. - A curva
é uma reta horizontal que corta o eixo y no ponto (0,4). - A curva
é simplesmente o eixo y.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites da nossa região.
Passo 3
Para encontrar a interseção entre
e
, igualamos as duas equações:
Então, as curvas se encontram no ponto (2,4).
Passo 4
Agora, vamos visualizar a região Ω:
- Ela está entre
(eixo y) e . - Na vertical, vai de
até .
Passo 5
Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação de Ω em torno do eixo y, podemos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo que é paralelo ao eixo de integração.
Passo 6
A fórmula do volume usando o método das cascas cilíndricas é:
onde:
-
é a distância do elemento à rotaçã -
é a altura da casca cilíndrica
Passo 7
No nosso caso:
-
e (limites de integração em x) - A altura
é a diferença entre e :
Passo 8
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 10
Calculando os limites:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido ao girar a região Ω em torno do eixo y é
unidades cúbicas.
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Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.
A base de um sólido é o círculo
. Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao cixo
são triângulos equiláteros.
A região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pelas retas
e
é girada em torno do eixo
. Calcule o volume do sólido resultante.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é a metade direita do círculo
.