Desenhe as regiões limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar as regiões limitadas pelas curvas e . Depois, vamos calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração. Igualando , temos:
Resolvendo para , obtemos e .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram em e , vamos visualizar qual delas está por cima nesse intervalo. Testando um valor, por exemplo :
Então, está acima de entre e .

Passo 4

Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo , vamos usar o método dos cascos cilíndricos. A fórmula geral é:
Aqui, e . Os limites de integração são de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo na expressão do volume:

Passo 7

Vamos calcular o valor da integral nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, o resultado da integral é .

Passo 8

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido obtido ao girar a região em torno do eixo é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

A base de um sólido é o círculo . Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao cixo são triângulos equiláteros.
Calcule , sendo .
Desenhe as regiões limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo .
A região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pelas retas e é girada em torno do eixo . Calcule o volume do sólido resultante.