Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar as regiões limitadas pelas curvas
e
. Depois, vamos calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos cascos cilíndricos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração. Igualando
, temos:
Resolvendo para
, obtemos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se encontram em
e
, vamos visualizar qual delas está por cima nesse intervalo. Testando um valor, por exemplo
:
Então,
está acima de
entre
e
.
Passo 4
Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, vamos usar o método dos cascos cilíndricos. A fórmula geral é:
Aqui,
e
. Os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Substituindo na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo na expressão do volume:
Passo 7
Vamos calcular o valor da integral nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Então, o resultado da integral é
.
Passo 8
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
A base de um sólido é o círculo
. Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao cixo
são triângulos equiláteros.
Calcule
, sendo
.
Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.
A região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pelas retas
e
é girada em torno do eixo
. Calcule o volume do sólido resultante.