Calcule , sendo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função definida por uma integral definida:
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função quando , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma integral com limites variáveis. Se temos uma função da forma:
Então, a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos avaliar a função integranda nos limites superior e inferior, multiplicando cada um pela derivada desses limites em relação a .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
Primeiro, vamos encontrar e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do teorema:
Substituindo as funções e suas derivadas:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Nosso próximo passo é avaliar quando :
Vamos calcular cada parte:
Substituindo esses valores:

Resposta

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