Calcule
, sendo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função
definida por uma integral definida:
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função quando
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma integral com limites variáveis. Se temos uma função da forma:
Então, a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que precisamos avaliar a função integranda
nos limites superior e inferior, multiplicando cada um pela derivada desses limites em relação a
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
-
- Limite inferior:
- Limite superior:
Primeiro, vamos encontrar
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do teorema:
Substituindo as funções e suas derivadas:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Nosso próximo passo é avaliar
quando
:
Vamos calcular cada parte:
Substituindo esses valores:
Resposta
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Seja
uma função contínua, com
, para todo
. Apresente os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por
Encontre os valores de a tais que a reta
divida a região sob a curva
, com
, em duas partes tais que uma delas tenha o triplo da área da outra.
A base de um sólido é o círculo
. Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao cixo
são triângulos equiláteros.
Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.