Calcule H^prime(0), sendo H(x)=integralsen x^x^3 31+t^4 d t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função H(x) = integralsen x^x^3 31 + t^4 , dt definida por uma integral definida:
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função quando , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma integral com limites variáveis. Se temos uma função da forma:
H(x) = integrala(x)^b(x) f(t) , dt
Então, a derivada de H'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos avaliar a função integranda nos limites superior e inferior, multiplicando cada um pela derivada desses limites em relação a .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
  • b'(x) = ddx (x^3) = 3x^2
  • Limite inferior:
  • Limite superior: a'(x) = ddx (sen x) = cos x
Primeiro, vamos encontrar e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do teorema:
H'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo as funções e suas derivadas:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Nosso próximo passo é avaliar H'(0) = 9 cdot 0^21 + 0^12 - 3 cos 01 + sen^4 0 quando H'(0) = 01 + 0 - 3 cdot 11 + 0 :
Vamos calcular cada parte:
  • H'(0) = 0 - 3 = -3
Substituindo esses valores:

Resposta

H^prime(0) = -3

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