A base do sólido
é o conjunto de ordenadas da função
no intervalo
. Todas as seções perpendiculares a
são quadrados. O volume do sólido é
para todo
. Suponha
contínua em
. Determine
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sólido
cuja base é definida pelas ordenadas da função
no intervalo
, onde
. Além disso, todas as seções do sólido perpendicular ao eixo
são quadrados. O volume desse sólido é dado por:
Queremos encontrar o valor de
. Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral e a teoria sobre volumes de sólidos com seções determinadas.
Passo 2
Sabemos que o volume do sólido
pode ser calculado integrando a área das seções transversais ao longo do eixo
. Como as seções são quadrados, a área de cada seção em um ponto
é
. Portanto, o volume é dado por:
Passo 3
Temos a expressão do volume em duas formas:
Para encontrar
, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a
. De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada do lado esquerdo será
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada do lado direito:
Calculando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (usando a regra do produto). - A derivada de
é (também usando a regra do produto).
Somando tudo:
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados:
Para encontrar
, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Determinar
de maneira que região acima do gráfico de
e inferior de
tenha área
.
Calcule as seguintes integrais:
Considere a função
dada implicitamente pela equação
onde
é constante.
Determinar o comprimento total do gráfico da função
.
Seja
o valor da integral
Calcular a seguinte integral em função de