A base do sólido é o conjunto de ordenadas da função no intervalo . Todas as seções perpendiculares a são quadrados. O volume do sólido é
para todo . Suponha contínua em . Determine .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sólido cuja base é definida pelas ordenadas da função no intervalo , onde . Além disso, todas as seções do sólido perpendicular ao eixo são quadrados. O volume desse sólido é dado por:
Queremos encontrar o valor de . Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral e a teoria sobre volumes de sólidos com seções determinadas.

Passo 2

Sabemos que o volume do sólido pode ser calculado integrando a área das seções transversais ao longo do eixo . Como as seções são quadrados, a área de cada seção em um ponto é . Portanto, o volume é dado por:

Passo 3

Temos a expressão do volume em duas formas:
Para encontrar , vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a . De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada do lado esquerdo será .

Passo 4

Vamos calcular a derivada do lado direito:
Calculando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usando a regra do produto).
  • A derivada de é (também usando a regra do produto).
Somando tudo:

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados:
Para encontrar , extraímos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja . Determinar de maneira que região acima do gráfico de e inferior de tenha área .
Calcule as seguintes integrais:
Considere a função dada implicitamente pela equação
onde é constante.
Determinar o comprimento total do gráfico da função .
Seja o valor da integral
Calcular a seguinte integral em função de