A base do sólido S é o conjunto de ordenadas da função f(x) ≥ 0 no intervalo [0, a]. Todas as seções perpendiculares a O X são quadrados. O volume do sólido é
V(S) = a^3 - 2a cos(a) + (2 - a^2) sen(a)
para todo a >= 0. Suponha f contínua em [0, a]. Determine f(a).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sólido S cuja base é definida pelas ordenadas da função f(x) no intervalo [0, a], onde f(x) ≥ 0. Além disso, todas as seções do sólido perpendicular ao eixo são quadrados. O volume desse sólido é dado por:
Queremos encontrar o valor de f(a). Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral e a teoria sobre volumes de sólidos com seções determinadas.

Passo 2

Sabemos que o volume do sólido S pode ser calculado integrando a área das seções transversais ao longo do eixo . Como as seções são quadrados, a área de cada seção em um ponto x é . Portanto, o volume é dado por:

Passo 3

Temos a expressão do volume em duas formas:
Para encontrar f(a), vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a a. De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada do lado esquerdo será [f(a)]^2.

Passo 4

Vamos calcular a derivada do lado direito:
Calculando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usando a regra do produto).
  • A derivada de é (também usando a regra do produto).
Somando tudo:

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados:
Para encontrar f(a), extraímos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

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