Considere a função dada implicitamente pela equação
onde é constante.
Determinar o comprimento total do gráfico da função .

Passo 1

Beleza, pessoal! Temos um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento total do gráfico da função dada pela equação , onde é uma constante. Vamos usar conceitos de cálculo sobre comprimento de curvas e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva definida por entre dois pontos:
Precisamos encontrar para aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos derivar implicitamente a equação em relação a :
Sabendo que a derivada de uma constante é zero:

Passo 4

Isolando :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento da curva:

Passo 6

Vamos usar a equação original para simplificar dentro da raiz:
Portanto,

Passo 7

Calculando a integral:
Então,

Passo 8

Para encontrar o comprimento total, observamos que a curva é simétrica nos quatro quadrantes e forma um astroido. O comprimento total da curva completa é 6 vezes o valor obtido para um dos segmentos.
Portanto,

Resposta

O comprimento total do gráfico da função é .

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Calcule as seguintes integrais: