Considere a função
dada implicitamente pela equação
onde
é constante.
Determinar o comprimento total do gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, pessoal! Temos um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento total do gráfico da função
dada pela equação
, onde
é uma constante. Vamos usar conceitos de cálculo sobre comprimento de curvas e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva definida por
entre dois pontos:
Precisamos encontrar
para aplicar essa fórmula.
Passo 3
Vamos derivar implicitamente a equação
em relação a
:
Sabendo que a derivada de uma constante é zero:
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento da curva:
Passo 6
Vamos usar a equação original
para simplificar dentro da raiz:
Portanto,
Passo 7
Calculando a integral:
Então,
Passo 8
Para encontrar o comprimento total, observamos que a curva é simétrica nos quatro quadrantes e forma um astroido. O comprimento total da curva completa é 6 vezes o valor obtido para um dos segmentos.
Portanto,
Resposta
O comprimento total do gráfico da função
é
.
Exercícios relacionados
A base do sólido
é o conjunto de ordenadas da função
no intervalo
. Todas as seções perpendiculares a
são quadrados. O volume do sólido é
para todo
. Suponha
contínua em
. Determine
.
Seja
. Determinar
de maneira que região acima do gráfico de
e inferior de
tenha área
.
Seja
o valor da integral
Calcular a seguinte integral em função de
Calcule as seguintes integrais: