Seja A o valor da integral
A=integral0^pi cos x(x+2)^2 d x
Calcular a seguinte integral em função de A
integral0^pi / 2 sin x cdot cos xx+1 d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o valor de uma integral definida,
A = integral0^pi cos x(x + 2)^2 , dx,
e precisamos calcular outra integral definida,
integral0^pi / 2 sin x cdot cos xx + 1 , dx,
expressando-a em função de . Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição de variáveis e integração por partes.

Passo 2

Vamos começar focando na integral que queremos calcular:
integral0^pi / 2 sin x cdot cos xx + 1 , dx
Observamos que sin x cdot cos x = 12 sin(2x) pode ser simplificado usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
integral0^pi / 2 sin x cdot cos xx + 1 , dx = 12 integral0^pi / 2 sin(2x)x + 1 , dx
Então, substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja 12 integral0^pi / 2 sin(2x)x + 1 , dx = 12 integral0^pi sin uu2 + 1 cdot du2 = 14 integral0^pi sin uu2 + 1 , du . Então, quando , e quando , . A derivada de em relação a é , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
u2 + 1 = u + 22
Substituindo na integral:
14 integral0^pi sin uu + 22 , du = 14 cdot 2 integral0^pi sin uu + 2 , du = 12 integral0^pi sin uu + 2 , du

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa integral com A = integral0^pi cos u(u + 2)^2 , du . Sabemos que:
12 integral0^pi sin uu + 2 , du
Para conectar as duas integrais, vamos usar integração por partes na integral que temos:
12 [ cos u cdot ln(u + 2) |0^pi - integral0^pi ln(u + 2) cdot (-sin u) , du ]
Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:

Passo 6

Ao avaliar o termo de fronteira:
Quando cos pi cdot ln(pi + 2) = -1 cdot ln(pi + 2) = -ln(pi + 2) :
cos 0 cdot ln(0 + 2) = 1 cdot ln 2 = ln 2
Quando -ln(pi + 2) - ln 2 = -ln[2(pi + 2)] :
Portanto, o termo de fronteira fica:
E a integral restante relaciona-se com .

Passo 7

Finalmente, combinando tudo, temos que a integral original pode ser expressa em termos de 12 [ -ln[2(pi + 2)] + A ] :

Resposta

A integral 12 ( -ln[2(pi + 2)] + A ) em função de é:

Exercícios relacionados