Seja o valor da integral
Calcular a seguinte integral em função de

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o valor de uma integral definida,
e precisamos calcular outra integral definida,
expressando-a em função de . Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição de variáveis e integração por partes.

Passo 2

Vamos começar focando na integral que queremos calcular:
Observamos que pode ser simplificado usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Então, quando , e quando , . A derivada de em relação a é , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa integral com . Sabemos que:
Para conectar as duas integrais, vamos usar integração por partes na integral que temos:
Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:

Passo 6

Ao avaliar o termo de fronteira:
Quando :
Quando :
Portanto, o termo de fronteira fica:
E a integral restante relaciona-se com .

Passo 7

Finalmente, combinando tudo, temos que a integral original pode ser expressa em termos de :

Resposta

A integral em função de é:

Exercícios relacionados

Considere a função dada implicitamente pela equação
onde é constante.
Determinar o comprimento total do gráfico da função .
A base do sólido é o conjunto de ordenadas da função no intervalo . Todas as seções perpendiculares a são quadrados. O volume do sólido é
para todo . Suponha contínua em . Determine .
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: e