Seja
o valor da integral
Calcular a seguinte integral em função de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o valor de uma integral definida,
e precisamos calcular outra integral definida,
expressando-a em função de
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição de variáveis e integração por partes.
Passo 2
Vamos começar focando na integral que queremos calcular:
Observamos que
pode ser simplificado usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, substituindo na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, quando
,
e quando
,
. A derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos relacionar essa integral com
. Sabemos que:
Para conectar as duas integrais, vamos usar integração por partes na integral que temos:
Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Passo 6
Ao avaliar o termo de fronteira:
Quando
cos pi cdot ln(pi + 2) = -1 cdot ln(pi + 2) = -ln(pi + 2) :
Quando
-ln(pi + 2) - ln 2 = -ln[2(pi + 2)] :
Portanto, o termo de fronteira fica:
E a integral restante relaciona-se com
.
Passo 7
Finalmente, combinando tudo, temos que a integral original pode ser expressa em termos de
12 [ -ln[2(pi + 2)] + A ] :
Resposta
A integral
12 ( -ln[2(pi + 2)] + A ) em função de
é: