Seja
o valor da integral
Calcular a seguinte integral em função de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o valor de uma integral definida,
e precisamos calcular outra integral definida,
expressando-a em função de
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição de variáveis e integração por partes.
Passo 2
Vamos começar focando na integral que queremos calcular:
Observamos que
pode ser simplificado usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, substituindo na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, quando
,
e quando
,
. A derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos relacionar essa integral com
. Sabemos que:
Para conectar as duas integrais, vamos usar integração por partes na integral que temos:
Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Passo 6
Ao avaliar o termo de fronteira:
Quando
:
Quando
:
Portanto, o termo de fronteira fica:
E a integral restante relaciona-se com
.
Passo 7
Finalmente, combinando tudo, temos que a integral original pode ser expressa em termos de
:
Resposta
A integral
em função de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
dada implicitamente pela equação
onde
é constante.
Determinar o comprimento total do gráfico da função
.
A base do sólido
é o conjunto de ordenadas da função
no intervalo
. Todas as seções perpendiculares a
são quadrados. O volume do sólido é
para todo
. Suponha
contínua em
. Determine
.
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
e