Mostre que a série geométrica
sumn=1^infty a r^n-1
ê convergente se |r|<1 e sua soma é
sumn=1^infty a r^n-1=a1-r
Se |r| >= 1, a série geométrica é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries geométricas! A gente precisa mostrar que a série
sumn=1^infty a r^n-1
converge quando e que a soma dela é . Além disso, se , a série diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e a fórmula da soma da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. É uma sequência de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante , que chamamos de razão. No nosso caso, a série começa com e cada termo seguinte é .

Passo 3

Agora, para verificar se a série converge ou diverge, vamos usar o critério da série geométrica. Esse critério nos diz que a série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série não converge, ela diverge.

Passo 4

Vamos supor que sumn=1^infty a r^n-1 = a1 - r e calcular a soma da série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita quando é:
Essa fórmula funciona porque, com entre -1 e 1, os termos da série ficam cada vez menores e a soma se aproxima de um valor finito.

Passo 5

Por outro lado, se , os termos da série não diminuem e podem até crescer, o que faz com que a soma não tenha um limite finito. Isso significa que a série não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

Portanto, a série geométrica
sumn=1^infty a r^n-1
converge se e sua soma é . Se , a série é divergente.

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