Mostre que a série geométrica
ê convergente se
e sua soma é
Se
, a série geométrica é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries geométricas! A gente precisa mostrar que a série
converge quando
e que a soma dela é
. Além disso, se
, a série diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e a fórmula da soma da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. É uma sequência de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante
, que chamamos de razão. No nosso caso, a série começa com
e cada termo seguinte é
.
Passo 3
Agora, para verificar se a série converge ou diverge, vamos usar o critério da série geométrica. Esse critério nos diz que a série converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Se
, a série não converge, ela diverge.
Passo 4
Vamos supor que
e calcular a soma da série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita quando
é:
Essa fórmula funciona porque, com
entre -1 e 1, os termos da série ficam cada vez menores e a soma se aproxima de um valor finito.
Passo 5
Por outro lado, se
, os termos da série não diminuem e podem até crescer, o que faz com que a soma não tenha um limite finito. Isso significa que a série não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
Portanto, a série geométrica
converge se
e sua soma é
. Se
, a série é divergente.
Exercícios relacionados
Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
A base de um sólido é a região entre a curva
e o intervalo
no eixo
. As seções transversais perpendicalares ao eixo
são: quadrados com bases que se estendem do eixo
à curva.
Seja
una funcāo duas vezes derivável. Mostre que a curvatura
da curva dada pelo gráfrico de
é
Mostre que
.