A base de um sólido é a região delimitada pelas parábolas y = x^2 e y = 2 - x^2. Encontre o volume do sólido se as secções transversais perpendiculares ao eixo x forem quadrados com um lado sobre a base.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma base de um sólido que é a região delimitada pelas parábolas e . A missão é encontrar o volume desse sólido sabendo que as secções transversais, ou seja, as fatias do sólido que cortam perpendicularmente ao eixo , são quadrados cujo lado está sobre a base. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral e entender como calcular volumes por integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir os pontos onde as parábolas e se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Somando dos dois lados:
Então, as parábolas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região entre e . Para cada valor de nesse intervalo, a altura da região é a diferença entre as duas funções:
Essa altura será o lado do quadrado na secção transversal.

Passo 4

Como cada secção transversal é um quadrado com lado , a área dessa secção é:
Para encontrar o volume do sólido, precisamos integrar essa área de a .

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 7

Agora, somamos os resultados das integrais:
Para somar, vamos colocar tudo com denominador comum, que é 15:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados