A base de um sólido é a região delimitada pelas parábolas e . Encontre o volume do sólido se as secções transversais perpendiculares ao eixo forem quadrados com um lado sobre a base.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma base de um sólido que é a região delimitada pelas parábolas e . A missão é encontrar o volume desse sólido sabendo que as secções transversais, ou seja, as fatias do sólido que cortam perpendicularmente ao eixo , são quadrados cujo lado está sobre a base. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral e entender como calcular volumes por integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir os pontos onde as parábolas e se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Somando dos dois lados:
Então, as parábolas se intersectam nos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região entre e . Para cada valor de nesse intervalo, a altura da região é a diferença entre as duas funções:
Essa altura será o lado do quadrado na secção transversal.
Passo 4
Como cada secção transversal é um quadrado com lado , a área dessa secção é:
Para encontrar o volume do sólido, precisamos integrar essa área de a .
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 7
Agora, somamos os resultados das integrais:
Para somar, vamos colocar tudo com denominador comum, que é 15: