Faça os seguintes itens:
c) Se X = (0, 1] e Y = [1, 2), então, Int(X) U Int(Y) ≠ Int(X U Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a união dos interiores dos conjuntos e é diferente do interior da união desses dois conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são interiores de conjuntos e como funciona a união de conjuntos na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto , denotado por , é o maior conjunto aberto que está contido em . Em outras palavras, são todos os pontos de que não estão na “borda” de .

Passo 3

Agora, vamos identificar os interiores de e separadamente.
Para :
  • O conjunto aberto que está contido em é , já que o ponto 1 está na borda e não faz parte do interior.
Então, .
Para :
  • O conjunto aberto que está contido em é , já que o ponto 1 está na borda e não faz parte do interior.
Então, .

Passo 4

Agora, vamos fazer a união dos interiores de e :
Note que estamos juntando os intervalos abertos, mas como 1 não está incluído em nenhum dos dois, a união resulta no intervalo aberto de 0 a 2.

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a união de e primeiro, e depois calcular o interior desse conjunto:
Aqui, a união de e cobre todo o intervalo de 0 a 2, exceto talvez os pontos 0 e 2, dependendo de como definimos os “limites”.

Passo 6

Agora, calculamos o interior da união :
Como já é um conjunto aberto, seu interior é ele mesmo.

Passo 7

Finalmente, vamos comparar os dois resultados:
Parece que eles são iguais, mas a questão afirma que eles são diferentes. Vamos revisar.

Passo 8

Na verdade, houve um erro na interpretação inicial. Vamos reconsiderar a união dos interiores:
Como 1 não está incluído em nenhum dos dois intervalos, a união é a combinação desses dois conjuntos separados, não um único intervalo contínuo. Portanto:
Enquanto:
Portanto, de fato:

Resposta

Sim, .

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