Faça os seguintes itens:
c) Se
e
, então,
.
c) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a união dos interiores dos conjuntos
e
é diferente do interior da união desses dois conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são interiores de conjuntos e como funciona a união de conjuntos na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto
, denotado por
, é o maior conjunto aberto que está contido em
. Em outras palavras, são todos os pontos de
que não estão na “borda” de
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os interiores de
e
separadamente.
Para
:
- O conjunto aberto que está contido em
é , já que o ponto 1 está na borda e não faz parte do interior.
Então,
.
Para
:
- O conjunto aberto que está contido em
é , já que o ponto 1 está na borda e não faz parte do interior.
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos fazer a união dos interiores de
e
:
Note que estamos juntando os intervalos abertos, mas como 1 não está incluído em nenhum dos dois, a união resulta no intervalo aberto de 0 a 2.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a união de
e
primeiro, e depois calcular o interior desse conjunto:
Aqui, a união de
e
cobre todo o intervalo de 0 a 2, exceto talvez os pontos 0 e 2, dependendo de como definimos os “limites”.
Passo 6
Agora, calculamos o interior da união
:
Como
já é um conjunto aberto, seu interior é ele mesmo.
Passo 7
Finalmente, vamos comparar os dois resultados:
Parece que eles são iguais, mas a questão afirma que eles são diferentes. Vamos revisar.
Passo 8
Na verdade, houve um erro na interpretação inicial. Vamos reconsiderar a união dos interiores:
Como 1 não está incluído em nenhum dos dois intervalos, a união é a combinação desses dois conjuntos separados, não um único intervalo contínuo. Portanto:
Enquanto:
Portanto, de fato:
Resposta
Sim,
.