Determine o limite das sequência ou demonstre que as mesmas divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar o limite da sequência
ou mostrar que ela diverge. Aqui, vamos usar conceitos de limites de sequências e fatores de crescimento para resolver. Precisamos entender como o fatorial
se comporta em comparação com a potência
(já que
) quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
. Para analisar o limite dessa sequência, uma boa estratégia é usar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a comparar termos consecutivos da sequência para ver se ela cresce, diminui ou se estabiliza.
Passo 3
Aplicando o teste da razão, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Ao simplificar, vemos que o limite é:
Esse resultado indica que a razão entre termos consecutivos cresce sem limite quando
aumenta.
Resposta
A sequência
diverge para o infinito.