Determine o limite das sequência ou demonstre que as mesmas divergem. a_n = n! / (2^n * 3^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar o limite da sequência ou mostrar que ela diverge. Aqui, vamos usar conceitos de limites de sequências e fatores de crescimento para resolver. Precisamos entender como o fatorial se comporta em comparação com a potência (já que ) quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão: . Para analisar o limite dessa sequência, uma boa estratégia é usar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a comparar termos consecutivos da sequência para ver se ela cresce, diminui ou se estabiliza.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Ao simplificar, vemos que o limite é:
Esse resultado indica que a razão entre termos consecutivos cresce sem limite quando aumenta.

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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