Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monotônica. A sequência é limitada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência
é crescente, decrescente ou não monotônica. Além disso, precisamos verificar se essa sequência é limitada. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de funções trigonométricas, especialmente sobre o cosseno, e analisar o comportamento da sequência conforme
varia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para entender como ela se comporta. Vamos substituir valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Vemos que os termos estão se repetindo em um padrão: 0, -1, 0, 1, 0, -1, …
Passo 3
Observando os valores calculados, percebemos que a sequência não está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Em vez disso, ela está oscilando entre -1, 0 e 1. Isso acontece por causa da periodicidade da função cosseno. A função
tem período
, ou seja, se repete a cada
unidades. No nosso caso,
, então a sequência repete seus valores a cada 4 termos.
Passo 4
Como a sequência oscila entre valores diferentes e não segue uma tendência constante de aumento ou diminuição, concluímos que ela não é monotônica. Monotonicidade significa que a sequência é sempre crescente ou sempre decrescente, o que não é o caso aqui.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que a função cosseno sempre produz valores entre -1 e 1, ou seja,
para qualquer
. Portanto, todos os termos da sequência
também estarão sempre dentro desse intervalo.
Resposta
A sequência
não é monotônica e é limitada pelo intervalo
.