Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monotônica. A sequência é limitada? a_n = cos(n pi / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência é crescente, decrescente ou não monotônica. Além disso, precisamos verificar se essa sequência é limitada. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de funções trigonométricas, especialmente sobre o cosseno, e analisar o comportamento da sequência conforme varia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para entender como ela se comporta. Vamos substituir valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que os termos estão se repetindo em um padrão: 0, -1, 0, 1, 0, -1, …

Passo 3

Observando os valores calculados, percebemos que a sequência não está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Em vez disso, ela está oscilando entre -1, 0 e 1. Isso acontece por causa da periodicidade da função cosseno. A função tem período , ou seja, se repete a cada unidades. No nosso caso, , então a sequência repete seus valores a cada 4 termos.

Passo 4

Como a sequência oscila entre valores diferentes e não segue uma tendência constante de aumento ou diminuição, concluímos que ela não é monotônica. Monotonicidade significa que a sequência é sempre crescente ou sempre decrescente, o que não é o caso aqui.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que a função cosseno sempre produz valores entre -1 e 1, ou seja, para qualquer . Portanto, todos os termos da sequência também estarão sempre dentro desse intervalo.

Resposta

A sequência não é monotônica e é limitada pelo intervalo .

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