Suponha que X ⊆ R e Y ⊆ R. Prove que:
b) X_barra ∩ Y ⊆ X_barra ∩ Y_barra.

Passo 1

Vamos resumir a questão: temos dois conjuntos e dos números reais, e precisamos provar que o fechamento de intersectado com está contido no fechamento de intersectado com o fechamento de . Estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente com o fechamento de conjuntos. Para resolver isso, vamos usar definições e propriedades básicas de fechamento e interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fechamento de um conjunto. O fechamento de um conjunto , denotado por , é o menor conjunto fechado que contém . Em termos de pontos, inclui todos os pontos de mais todos os seus pontos limite.

Passo 3

Queremos mostrar que se um elemento está em , então ele também está em . Vamos considerar um ponto que pertence a .

Passo 4

Como está em , por definição, todo entorno de contém pelo menos um ponto de . Além disso, está em , o que significa que pertence a .

Passo 5

Para mostrar que está em , precisamos verificar que todo entorno de contém pelo menos um ponto de . Como já pertence a , todo entorno de obviamente contém , que é um ponto de .

Passo 6

Portanto, pertence a e também a , ou seja, está em .

Resposta

Assim, provamos que .

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