O que é uma base para um subespaço vetorial? Qual é a base canônica do espaço vetorial R^n ? Qual a dimensão de R^n ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três perguntas sobre espaços vetoriais: primeiro, o que é uma base para um subespaço vetorial; segundo, qual é a base canônica do espaço vetorial R^n; e terceiro, qual é a dimensão de R^n e o porquê disso. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender conceitos básicos de álgebra linear, como vetores, subespaços, bases e dimensão.

Passo 2

Vamos começar com a primeira pergunta: O que é uma base para um subespaço vetorial? Imagine que você tem um conjunto de vetores dentro de um subespaço. Esses vetores formam uma base se cumprirem duas condições importantes:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, não dá para “repetir” um vetor usando os outros.
  2. Geram o Subespaço: Qualquer vetor que estiver no subespaço pode ser obtido combinando esses vetores da base.
Em termos simples, a base é como um conjunto mínimo de “blocos de construção” que dá para montar qualquer vetor dentro do subespaço.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda pergunta: Qual é a base canônica do espaço vetorial R^n? A base canônica é um conjunto especial de vetores que facilita bastante a vida na hora de fazer cálculos.
Em R^n, a base canônica é formada por vetores que têm 1 em uma posição e 0 nas demais. Por exemplo, em R^3, a base canônica é:
e1 = 1 0 0, e2 = 0 1 0, e3 = 0 0 1
Esses vetores são chamados de vetores canônicos e servem como referência para qualquer outro vetor no espaço.

Passo 4

Por fim, vamos responder à terceira pergunta: Qual a dimensão de R^n? Por quê? A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço. Como já vimos, a base canônica de R^n tem exatamente n vetores, cada um correspondendo a uma dimensão do espaço.
Portanto, a dimensão de R^n é n. Isso significa que precisamos de n vetores para “preencher” todo o espaço sem redundância.

Resposta

Uma base para um subespaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço. A base canônica de R^n consiste nos vetores onde cada vetor tem 1 em uma posição e 0 nas demais, ou seja:
e1 = 1 0 vdots 0, e2 = 0 1 vdots 0, dots, en = 0 0 vdots 1
A dimensão de R^n é n, porque são necessários n vetores para formar uma base que gera todo o espaço.

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