Obtenha as matrizes que comutam com a matriz A=(cc1 & -1 0 & 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar todas as matrizes que “comutam” com a matriz 1 & -1 0 & 2 . Comutar, nesse contexto, significa que ao multiplicar por outra matriz , o resultado será o mesmo se multiplicarmos por , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre multiplicação de matrizes e como encontrar as condições para que .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que B = a & b c & d é uma matriz qualquer, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que .

Passo 3

Vamos calcular AB = 1 & -1 0 & 2 a & b c & d = 1 cdot a + (-1) cdot c & 1 cdot b + (-1) cdot d 0 cdot a + 2 cdot c & 0 cdot b + 2 cdot d = a - c & b - d 2c & 2d e BA = a & b c & d 1 & -1 0 & 2 = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot (-1) + b cdot 2 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot (-1) + d cdot 2 = a & -a + 2b c & -c + 2d separadamente.
Primeiro, :
Agora, :

Passo 4

Para que a - c & b - d 2c & 2d = a & -a + 2b c & -c + 2d , as matrizes resultantes devem ser iguais, ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver cada equação:
  1. ⟹ Subtraindo de ambos os lados:
  2. ⟹ Subtraindo de ambos os lados:
  3. ⟹ Subtraindo de ambos os lados: (Já sabemos disso pelo passo 1)
  4. ⟹ Como , temos , que é sempre verdadeiro e não nos dá nova informação

Passo 6

Então, as condições encontradas são:
  • B = a & b 0 & a - b
Isso significa que qualquer matriz que comute com deve ter a forma:
onde e podem ser quaisquer números reais (ou complexos, dependendo do contexto).

Resposta

Todas as matrizes que comutam com a & b 0 & a - b são da forma B = a & b 0 & a - b , onde e são números quaisquer. Portanto, as matrizes que comutam com são:

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