Obtenha as matrizes que comutam com a matriz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar todas as matrizes que “comutam” com a matriz
. Comutar, nesse contexto, significa que ao multiplicar
por outra matriz
, o resultado será o mesmo se multiplicarmos
por
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre multiplicação de matrizes e como encontrar as condições para que
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
é uma matriz
qualquer, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
que fazem com que
.
Passo 3
Vamos calcular
e
separadamente.
Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 4
Para que
, as matrizes resultantes devem ser iguais, ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver cada equação:
-
⟹ Subtraindo de ambos os lados: ⟹ -
⟹ Subtraindo de ambos os lados: ⟹ -
⟹ Subtraindo de ambos os lados: (Já sabemos disso pelo passo 1) -
⟹ Como , temos , que é sempre verdadeiro e não nos dá nova informação
Passo 6
Então, as condições encontradas são:
Isso significa que qualquer matriz
que comute com
deve ter a forma:
onde
e
podem ser quaisquer números reais (ou complexos, dependendo do contexto).
Resposta
Todas as matrizes que comutam com
são da forma
, onde
e
são números quaisquer. Portanto, as matrizes que comutam com
são: