Resolva o seguinte sistema linear usando a matriz aumentada:
lll x1 & +2 x2-3 x3 & -2 x4+4 x5=1 2 x1+5 x2-8 x3 & -x4+6 x5=4 x1+4 x2-7 x3+5 x4+3 x5=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a matriz aumentada. A gente está trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz aumentada com as equações dadas e aplicar operações de linha para simplificar até encontrar as soluções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis em uma matriz e adicionamos uma coluna extra com os termos independentes.
O sistema é:
ccccc|c 1x1 & +2x2 & -3x3 & -2x4 & +4x5 & =1 2x1 & +5x2 & -8x3 & -1x4 & +6x5 & =4 1x1 & +4x2 & -7x3 & +5x4 & +3x5 & =8
Então, a matriz aumentada fica:
1 & 2 & -3 & -2 & 4 & | & 1 2 & 5 & -8 & -1 & 6 & | & 4 1 & 4 & -7 & 5 & 3 & | & 8

Passo 3

Agora, vamos usar a primeira linha para eliminar o 2 - 2*1 = 0 5 - 2*2 = 1 -8 - 2*(-3) = -8 +6 = -2 -1 - 2*(-2) = -1 +4 = 3 6 - 2*4 = 6 -8 = -2 4 - 2*1 = 2 das demais linhas. Para isso, fazemos operações de linha.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Nova segunda linha = Linha2 - 2 * Linha1
0 1 -2 3 -2 | 2
Então, a segunda linha fica:
1 -1 = 0 4 -2 = 2 -7 - (-3) = -7 +3 = -4 5 - (-2) = 5 +2 = 7 3 -4 = -1 8 -1 =7
Em seguida, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
  • Nova terceira linha = Linha3 - Linha1
0 2 -4 7 -1 | 7
Então, a terceira linha fica:
1 & 2 & -3 & -2 & 4 & | & 1 0 & 1 & -2 & 3 & -2 & | & 2 0 & 2 & -4 & 7 & -1 & | &7
Agora, nossa matriz fica:

Passo 4

Vamos agora usar a segunda linha para eliminar o 0 - 2*0 =0 2 - 2*1 =0 -4 - 2*(-2) = -4 +4 =0 7 -2*3 =7 -6=1 -1 -2*(-2)= -1+4=3 7 -2*2=7-4=3 da terceira linha. Para isso, fazemos:
Nova terceira linha = Linha3 - 2 * Linha2
0 0 0 1 3 | 3
Então, a terceira linha fica:
1 & 2 & -3 & -2 &4 & | &1 0 &1 &-2 &3 &-2 & | &2 0 &0 &0 &1 &3 & | &3
Agora, nossa matriz está:

Passo 5

Agora, observamos que a terceira equação nos dá uma relação direta:
1x4 +3x5 =3
Podemos resolver essa equação para x4 = 3 -3x5 :
x4 = 3 -3t
Isso mostra que depende do valor de . Como temos mais variáveis do que equações, vamos escolher como um parâmetro livre, ou seja, , onde pode ser qualquer número real.
Então:

Passo 6

Vamos agora substituir 0x1 +1x2 -2x3 +3x4 -2x5 =2 na segunda equação para encontrar x2 -2x3 +3(3 -3t) -2t =2 x2 -2x3 +9 -9t -2t =2 x2 -2x3 -11t = -7 :
x2 = 2x3 +11t -7
Substituindo e :
Então:

Passo 7

Agora, vamos substituir 1x1 +2x2 -3x3 -2x4 +4x5 =1 e x1 +2(2x3 +11t -7) -3x3 -2(3 -3t) +4t =1 x1 +4x3 +22t -14 -3x3 -6 +6t +4t =1 x1 +x3 +32t -20 =1 na primeira equação para encontrar x1 = -x3 -32t +21 :
Substituindo , e :
Então:

Passo 8

Resumindo tudo, temos:
  • x1 = -s -32t +21 x2 =2s +11t -7 x3 = s x4 =3 -3t x5 = t
E é um parâmetro livre. Podemos deixar , onde é qualquer número real.
Então, as soluções são:

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = -s -32t +21 x2 =2s +11t -7 x3 = s x4 =3 -3t x5 = t
onde e são números reais quaisquer.

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