Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa
1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente
. O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor,
é de 0.01 m. Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gerador com um motor diesel de massa 1100 kg, montado em isoladores com uma rigidez de
. Além disso, o pistão e a biela equivalentes têm uma massa de 26 kg e se movem de forma harmônica na direção vertical. Foi observado que a amplitude de vibração em regime permanente é de 0,01 m. A gente precisa calcular o coeficiente de amortecimento do sistema, assumindo que o amortecimento é viscoso.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas massa-mola-amortecedor e a equação de movimento para vibrações forçadas com amortecimento. Vamos também precisar saber como relacionar a amplitude da vibração com o coeficiente de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a massa total que está vibrando. Temos a massa do motor diesel, que é 1100 kg, e a massa do pistão e biela, que é 26 kg. Então, a massa total
do sistema é:
Passo 3
Em seguida, vamos analisar a rigidez do sistema. A rigidez equivalente
já está dada como
. Vamos converter isso para unidades padrão:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar que em um sistema massa-mola-amortecedor, a amplitude
em regime permanente para uma vibração forçada é dada por:
Onde:
-
é a força externa aplicada. -
é a frequência natural do sistema. -
é a frequência da vibração forçada. -
é o fator de amortecimento.
Entretanto, como não temos
nem
, vamos simplificar usando a condição de ressonância, onde a frequência da força externa é igual à frequência natural do sistema (
). Nessa condição, a amplitude máxima é:
Mas ainda faltam informações. Vamos considerar que para amortecimento viscoso em regime permanente, a amplitude é inversamente proporcional ao coeficiente de amortecimento. Assim, podemos rearranjar para encontrar
:
No entanto, sem
e
, precisamos de outra abordagem. Vamos utilizar a relação de energia para amortecimento.
Passo 5
Outra maneira de relacionar a amplitude com o amortecimento é usando a equação simplificada para sistemas levemente amortecidos, onde a amplitude em regime permanente é inversamente proporcional ao coeficiente de amortecimento:
Rearranjando para
:
Ainda precisamos de
, então vamos reconsiderar o modelo.
Passo 6
Vamos usar a equação da força de amortecimento, que é
, onde
é a velocidade. Em regime permanente para uma vibração harmônica, a velocidade máxima
está relacionada à amplitude
e à frequência natural
:
Sabemos que a força de amortecimento também é igual à força restauradora da mola em equilíbrio. Então:
Simplificando
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Primeiro, calculamos
:
Passo 8
Agora, substituindo na equação para
:
Resposta
O coeficiente de amortecimento do sistema é aproximadamente
.