Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa m= 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente k eq =1.5 MN / m. O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, Xp é de 0.01 m. Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gerador com um motor diesel de massa 1100 kg, montado em isoladores com uma rigidez de . Além disso, o pistão e a biela equivalentes têm uma massa de 26 kg e se movem de forma harmônica na direção vertical. Foi observado que a amplitude de vibração em regime permanente é de 0,01 m. A gente precisa calcular o coeficiente de amortecimento do sistema, assumindo que o amortecimento é viscoso.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas massa-mola-amortecedor e a equação de movimento para vibrações forçadas com amortecimento. Vamos também precisar saber como relacionar a amplitude da vibração com o coeficiente de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a massa total que está vibrando. Temos a massa do motor diesel, que é 1100 kg, e a massa do pistão e biela, que é 26 kg. Então, a massa total m = 1100, kg + 26, kg = 1126, kg do sistema é:

Passo 3

Em seguida, vamos analisar a rigidez do sistema. A rigidez equivalente keq = 1.5, MN/m = 1.5 times 10^6, N/m já está dada como . Vamos converter isso para unidades padrão:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que em um sistema massa-mola-amortecedor, a amplitude Xp = F0/mraiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2zetaomegaomega0)^2 em regime permanente para uma vibração forçada é dada por:
Xp = F0/m2zetaomega0^2
Onde:
  • c = F02omega Xp m é a força externa aplicada.
  • é a frequência natural do sistema.
  • é a frequência da vibração forçada.
  • é o fator de amortecimento.
Entretanto, como não temos nem , vamos simplificar usando a condição de ressonância, onde a frequência da força externa é igual à frequência natural do sistema ( ). Nessa condição, a amplitude máxima é:
Mas ainda faltam informações. Vamos considerar que para amortecimento viscoso em regime permanente, a amplitude é inversamente proporcional ao coeficiente de amortecimento. Assim, podemos rearranjar para encontrar :
No entanto, sem e , precisamos de outra abordagem. Vamos utilizar a relação de energia para amortecimento.

Passo 5

Outra maneira de relacionar a amplitude com o amortecimento é usando a equação simplificada para sistemas levemente amortecidos, onde a amplitude em regime permanente é inversamente proporcional ao coeficiente de amortecimento:
Xp = F0keq cdot 1c
Rearranjando para c = F0keq Xp :
Ainda precisamos de , então vamos reconsiderar o modelo.

Passo 6

Vamos usar a equação da força de amortecimento, que é vmax = omega0 Xp , onde c omega0 Xp = keq Xp é a velocidade. Em regime permanente para uma vibração harmônica, a velocidade máxima c omega0 = keq está relacionada à amplitude e à frequência natural :
Sabemos que a força de amortecimento também é igual à força restauradora da mola em equilíbrio. Então:
Simplificando :

Passo 7

Agora, vamos resolver para c = keqomega0 :
omega0 = raizkeqm = raiz1.5 times 10^6, N/m1126, kg approx raiz1331.96, s^-2 approx 36.48, rad/s
Primeiro, calculamos :

Passo 8

Agora, substituindo na equação para c = 1.5 times 10^6, N/m36.48, rad/s approx 41176.47, Ns/m :

Resposta

O coeficiente de amortecimento do sistema é aproximadamente .

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