Uma massa de 4.5 kg é suspensa por uma mola de rigidez k=1400 N / m. Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c = 50 N s / m é conectado ao sistema. Determine o fator de amortecimento xi, a frequência natural wn e a frequência natural amortecida wd ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma massa de 4,5 kg presa a uma mola com rigidez e um amortecedor com coeficiente de amortecimento viscoso . O conteúdo que vamos usar aqui é de mecânica vibracional, especificamente sistemas massa-mola-amortecedor. Precisamos calcular três coisas: o fator de amortecimento ( ), a frequência natural ( ) e a frequência natural amortecida ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência natural omegan = raizkm . A frequência natural é a frequência com a qual o sistema oscilaria se não houvesse amortecimento. A fórmula para isso é:
omegan = raiz14004,5 approx raiz311,11 approx 17,64 , rad/s
Onde:
  • é a rigidez da mola.
  • é a massa.
Vamos substituir os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator de amortecimento xi = c2 raizm k . Esse fator nos diz se o sistema está subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. A fórmula para 2 raizm k = 2 raiz4,5 times 1400 = 2 raiz6300 approx 2 times 79,37 approx 158,74 é:
xi = 50158,74 approx 0,315
Onde:
  • é o coeficiente de amortecimento.
  • e já sabemos os valores.
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, substituímos:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a frequência natural amortecida omegad = omegan raiz1 - xi^2 . Essa é a frequência com que o sistema realmente oscila quando há amortecimento. A fórmula é:
omegad = 17,64 times raiz1 - (0,315)^2 = 17,64 times raiz1 - 0,099 = 17,64 times raiz0,901 approx 17,64 times 0,949 approx 16,74 , rad/s
Já temos e . Vamos calcular:

Resposta

O fator de amortecimento é aproximadamente 0,315, a frequência natural é 17,64 rad/s e a frequência natural amortecida é 16,74 rad/s.

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