Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar defeito é de 0,05 . Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar:
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos fala que a probabilidade de um componente elétrico ter defeito é de 0,05 (ou seja, 5%). Estamos lidando com uma amostra de 8 componentes que são testados um por um. O conteúdo que vamos usar aqui é a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm duas opções: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “sucesso” pode ser ter um defeito, e “fracasso” não ter defeito. Vamos precisar da fórmula da distribuição binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela é dada por:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ defeitos.
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $ (também conhecido como coeficiente binomial).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso (nesse caso, 0,05).
- $ n $ é o número total de tentativas (aqui, 8 componentes).
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente 0 defeitos na amostra de 8 componentes. Usando a fórmula:
Sabemos que $ C(8, 0) = 1 $ e $ 0,05^0 = 1 $. Então:
Ou seja, há aproximadamente 66,34% de chance de não encontrar nenhum defeito.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente 1 defeito:
Calculando:
Então, há aproximadamente 27,93% de chance de encontrar exatamente 1 defeito.
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente 2 defeitos:
Calculando:
Então, há aproximadamente 5,13% de chance de encontrar exatamente 2 defeitos.
Passo 6
Se quisermos saber a probabilidade de encontrar no máximo 2 defeitos (ou seja, 0, 1 ou 2 defeitos), somamos as probabilidades que já calculamos:
Isso significa que há aproximadamente 99,4% de chance de encontrar até 2 defeitos na amostra de 8 componentes.
Passo 7
Por fim, vamos calcular a probabilidade de encontrar pelo menos 1 defeito. Esse é o complemento da probabilidade de não encontrar nenhum defeito:
Então, há aproximadamente 33,66% de chance de encontrar pelo menos 1 defeito na amostra.
Resposta
As probabilidades de encontrar na amostra de oito componentes são:
- Nenhum defeito: ~66,34%
- Exatamente 1 defeito: ~27,93%
- Exatamente 2 defeitos: ~5,13%
- No máximo 2 defeitos: ~99,4%
- Pelo menos 1 defeito: ~33,66%