Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar defeito é de 0,05 . Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar:

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos fala que a probabilidade de um componente elétrico ter defeito é de 0,05 (ou seja, 5%). Estamos lidando com uma amostra de 8 componentes que são testados um por um. O conteúdo que vamos usar aqui é a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm duas opções: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “sucesso” pode ser ter um defeito, e “fracasso” não ter defeito. Vamos precisar da fórmula da distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela é dada por:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ defeitos.
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $ (também conhecido como coeficiente binomial).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso (nesse caso, 0,05).
  • $ n $ é o número total de tentativas (aqui, 8 componentes).

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente 0 defeitos na amostra de 8 componentes. Usando a fórmula:
P(0) = C(8, 0) times 0,05^0 times (1 - 0,05)^8 - 0
Sabemos que $ C(8, 0) = 1 $ e $ 0,05^0 = 1 $. Então:
C(8, 0) = 1
Ou seja, há aproximadamente 66,34% de chance de não encontrar nenhum defeito.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente 1 defeito:
P(1) = C(8, 1) times 0,05^1 times (1 - 0,05)^8 - 1
Calculando:
C(8, 1) = 8
P(1) = 8 times 0,05 times 0,95^7 approx 8 times 0,05 times 0,6983 approx 0,2793
Então, há aproximadamente 27,93% de chance de encontrar exatamente 1 defeito.

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente 2 defeitos:
P(2) = C(8, 2) times 0,05^2 times (1 - 0,05)^8 - 2
Calculando:
C(8, 2) = 28
P(2) = 28 times 0,0025 times 0,95^6 approx 28 times 0,0025 times 0,7351 approx 0,0513
Então, há aproximadamente 5,13% de chance de encontrar exatamente 2 defeitos.

Passo 6

Se quisermos saber a probabilidade de encontrar no máximo 2 defeitos (ou seja, 0, 1 ou 2 defeitos), somamos as probabilidades que já calculamos:
P(no máximo 2) = P(0) + P(1) + P(2) approx 0,6634 + 0,2793 + 0,0513 approx 0,994 á
Isso significa que há aproximadamente 99,4% de chance de encontrar até 2 defeitos na amostra de 8 componentes.

Passo 7

Por fim, vamos calcular a probabilidade de encontrar pelo menos 1 defeito. Esse é o complemento da probabilidade de não encontrar nenhum defeito:
P(pelo menos 1) = 1 - P(0) approx 1 - 0,6634 = 0,3366
Então, há aproximadamente 33,66% de chance de encontrar pelo menos 1 defeito na amostra.

Resposta

As probabilidades de encontrar na amostra de oito componentes são:
  • Nenhum defeito: ~66,34%
  • Exatamente 1 defeito: ~27,93%
  • Exatamente 2 defeitos: ~5,13%
  • No máximo 2 defeitos: ~99,4%
  • Pelo menos 1 defeito: ~33,66%

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