Para X com distribuição normal de média 100 e desvio padrão 20 obtenha:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média igual a 100 e desvio padrão de 20. Nosso objetivo é encontrar certas probabilidades ou valores específicos relacionados a essa distribuição. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal, usar a tabela Z (tabela da distribuição padrão) e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é simétrica e em forma de sino, onde a média é o ponto central. O desvio padrão nos diz o quanto os valores tendem a se dispersar em torno da média. No nosso caso, a média é 100 e o desvio padrão é 20. Isso significa que a maioria dos valores de $ X $ estará entre 80 e 120 (já que 100 ± 20).

Passo 3

Agora, suponha que a questão nos peça para calcular a probabilidade de $ X $ ser menor que 90, ou seja, $ P(X < 90) $. Para isso, precisamos padronizar esse valor usando a fórmula do escore Z:
X
onde:
  • $ \mu $ é a média (100)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (20)
  • $ X $ é o valor que queremos investigar (90)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Z = 90 - 10020 = -1020 = -0,5
Então, o escore Z correspondente a $ X = 90 $ é -0,5.

Passo 5

Com o valor de Z encontrado, usamos a tabela Z para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela Z nos dá a área sob a curva à esquerda de um determinado valor de Z. Para $ Z = -0,5 $, a tabela nos mostra que $ P(Z < -0,5) $ é aproximadamente 0,3085.

Passo 6

Interpretando esse resultado, significa que há aproximadamente 30,85% de probabilidade de $ X $ ser menor que 90.

Passo 7

Se a questão pedisse, por exemplo, para encontrar a probabilidade de $ X $ estar entre 80 e 120, faríamos o seguinte:
Primeiro, encontraríamos os escores Z para 80 e 120.
Para $ X = 80 $:
X
Para $ X = 120 $:
X = 80
Usando a tabela Z:
Z = 80 - 10020 = -1
X = 120
A probabilidade de $ X $ estar entre 80 e 120 é:
Z = 120 - 10020 = 1
Então, há aproximadamente 68,26% de probabilidade de $ X $ estar entre 80 e 120.

Resposta

Seguindo os passos acima, concluímos que há aproximadamente 30,85% de chance de $ X $ ser menor que 90 e 68,26% de chance de $ X $ estar entre 80 e 120.

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