O consumo de combustível é uma variável aleatória. Suponha que para um certo tipo de automóvel o desvio padrão de consumo é sigma=2 km / l, porém precisamos informações sobre a média de consumo. Para tal foi obtida uma amostra de 40 automóveis.
Se a amostra resultou em uma média de 9,3 km / l, faça intervalo de confiança para a média populacional quando o grau de confiança for 0,95 .
Se a amplitude de um intervalo de confiança for de 1,5 , qual foi o grau de confiança adotado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o consumo de combustível de um automóvel, que é uma variável aleatória. A gente sabe que o desvio padrão populacional é sigma = 2, km/l. Tiramos uma amostra de 40 carros e a média observada foi de 9,3, km/l. A primeira parte pede para a gente calcular um intervalo de confiança para a média populacional com um grau de confiança de 95%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como intervalo de confiança e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores na qual esperamos que a média verdadeira da população esteja, com um certo nível de confiança. Como queremos 95% de confiança, queremos ter 95% de certeza de que a média está dentro desse intervalo.

Passo 3

Como conhecemos o desvio padrão da população ( sigma) e o tamanho da amostra é grande (n = 40), podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm z ( sigmaraizn )
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança,
  • sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico z é aproximadamente 1,96. Isso porque, na distribuição normal, 95% dos valores estão entre -1,96 e +1,96 desvios padrão da média.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão, que é sigmaraizn:
2raiz40 = 26,3246 approx 0,3162

Passo 6

Multiplicamos o valor crítico z pelo erro padrão:
1,96 times 0,3162 approx 0,6199

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
9,3 - 0,6199 approx 8,6801
9,3 + 0,6199 approx 9,9199
Portanto, o intervalo de confiança é aproximadamente de 8,68, km/l a 9,92, km/l.

Passo 8

Agora, para a segunda parte, a gente sabe que a amplitude do intervalo é 1,5. A amplitude é a diferença entre o limite superior e inferior do intervalo. Sabendo que usamos a fórmula 2 times z times sigmaraizn = 1,5, podemos encontrar o valor de z correspondente e depois o grau de confiança.

Passo 9

Vamos rearranjar a equação para encontrar z:
z = 1,52 times 2raiz40 = 1,52 times 0,3162 approx 1,50,6325 approx 2,371

Passo 10

Com o valor de z approx 2,371, precisamos encontrar o grau de confiança correspondente. Consultando a tabela da distribuição normal, um z de 2,371 corresponde a um nível de confiança de aproximadamente 98,8%.

Resposta

  1. O intervalo de confiança para a média populacional com 95% de confiança é de aproximadamente 8,68, km/l a 9,92, km/l.
  2. Se a amplitude do intervalo de confiança é 1,5, o grau de confiança adotado foi de aproximadamente 98,8%.

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