O consumo de combustível é uma variável aleatória. Suponha que para um certo tipo de automóvel o desvio padrão de consumo é
, porém precisamos informações sobre a média de consumo. Para tal foi obtida uma amostra de 40 automóveis.
Se a amostra resultou em uma média de
, faça intervalo de confiança para a média populacional quando o grau de confiança for 0,95 .
Se a amplitude de um intervalo de confiança for de 1,5 , qual foi o grau de confiança adotado?
Se a amostra resultou em uma média de
Se a amplitude de um intervalo de confiança for de 1,5 , qual foi o grau de confiança adotado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o consumo de combustível de um automóvel, que é uma variável aleatória. A gente sabe que o desvio padrão populacional é
. Tiramos uma amostra de 40 carros e a média observada foi de
. A primeira parte pede para a gente calcular um intervalo de confiança para a média populacional com um grau de confiança de 95%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como intervalo de confiança e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores na qual esperamos que a média verdadeira da população esteja, com um certo nível de confiança. Como queremos 95% de confiança, queremos ter 95% de certeza de que a média está dentro desse intervalo.
Passo 3
Como conhecemos o desvio padrão da população (
) e o tamanho da amostra é grande (n = 40), podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. A fórmula do intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média da amostra, -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança, -
é o desvio padrão da população, -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico
é aproximadamente 1,96. Isso porque, na distribuição normal, 95% dos valores estão entre -1,96 e +1,96 desvios padrão da média.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão, que é
:
Passo 6
Multiplicamos o valor crítico
pelo erro padrão:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
Portanto, o intervalo de confiança é aproximadamente de
a
.
Passo 8
Agora, para a segunda parte, a gente sabe que a amplitude do intervalo é 1,5. A amplitude é a diferença entre o limite superior e inferior do intervalo. Sabendo que usamos a fórmula
, podemos encontrar o valor de
correspondente e depois o grau de confiança.
Passo 9
Vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Passo 10
Com o valor de
, precisamos encontrar o grau de confiança correspondente. Consultando a tabela da distribuição normal, um
de 2,371 corresponde a um nível de confiança de aproximadamente 98,8%.
Resposta
-
O intervalo de confiança para a média populacional com 95% de confiança é de aproximadamente
a . -
Se a amplitude do intervalo de confiança é 1,5, o grau de confiança adotado foi de aproximadamente 98,8%.