Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: integral-1^0[x^3+x^2+x-1] d x

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral definida de a da função . Vamos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a encontrar o valor da integral usando uma antiderivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma antiderivada da função F(x) = integral x^3 , dx + integral x^2 , dx + integral x , dx - integral 1 , dx = x^44 + x^33 + x^22 - x + C . A antiderivada é uma função tal que . Integramos cada termo separadamente:
Como estamos trabalhando com uma integral definida, a constante será descartada.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Onde é a antiderivada encontrada.

Passo 4

Vamos substituir os limites de integração na antiderivada F(0) = 0^44 + 0^33 + 0^22 - 0 = 0 :
Para F(-1) = (-1)^44 + (-1)^33 + (-1)^22 - (-1) = 14 - 13 + 12 + 1 :
14 - 13 + 12 = 312 - 412 + 612 = 512
Para 512 + 1 = 1712 :
Vamos calcular os termos fracionários:
Agora, somamos o 1:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados