Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: 5. integral0^2[3 x^2-2 x+1] d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a derivada com a integral, permitindo que a gente encontre o valor da integral usando uma antiderivada da função. Para isso, vamos precisar encontrar a antiderivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo da função separadamente.
  • A antiderivada de é , porque quando derivamos , obtemos .
  • A antiderivada de é , já que a derivada de é .
  • A antiderivada de é , porque a derivada de é .

Passo 3

Agora, somamos as antiderivadas encontradas:
x^3 - x^2 + x
Essa é a antiderivada da função original .

Passo 4

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, para calcular a integral definida de [ x^3 - x^2 + x ]0^2 = (2^3 - 2^2 + 2) - (0^3 - 0^2 + 0) a , avaliaremos a antiderivada nos limites superior e inferior e subtrairemos:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • Para 2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6 :
0^3 - 0^2 + 0 = 0
  • Para :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
6 - 0 = 6

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