Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 até 64. Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para resolver, vamos precisar usar regras básicas de integração, especialmente para funções de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz quadrada de x, , é o mesmo que . Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos tirar o fator constante para fora da integral, porque ele não depende de x:
Passo 4
A próxima etapa é integrar . A regra de integração para é:
onde C é a constante de integração. Aqui, , então:
Passo 5
Substituindo isso de volta na nossa expressão, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 até 64 usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 7
Calculando (64)^3/2:
Primeiro, tiramos a raiz quadrada de 64, que é 8, e depois elevamos ao cubo: