Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: integral0^64 raizx8 dx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de raizx8 de 0 até 64. Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para resolver, vamos precisar usar regras básicas de integração, especialmente para funções de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz quadrada de x, raizx, é o mesmo que x^1/2. Então, podemos reescrever a integral assim:
integral0^64 raizx8 , dx = integral0^64 x^1/28 , dx

Passo 3

Agora, vamos tirar o fator constante 18 para fora da integral, porque ele não depende de x:
18 integral0^64 x^1/2 , dx

Passo 4

A próxima etapa é integrar x^1/2. A regra de integração para x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Aqui, n = 12, então:
integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23 x^3/2

Passo 5

Substituindo isso de volta na nossa expressão, temos:
18 cdot 23 x^3/2 = 112 x^3/2

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 até 64 usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
112 x^3/2 |0^64 = 112 (64)^3/2 - 112 (0)^3/2

Passo 7

Calculando (64)^3/2:
Primeiro, tiramos a raiz quadrada de 64, que é 8, e depois elevamos ao cubo:
(64)^3/2 = (64^1/2)^3 = 8^3 = 512
E (0)^3/2 = 0.

Passo 8

Substituindo esses valores de volta:
112 times 512 - 112 times 0 = 51212 = 1283

Resposta

A integral definida é 1283.

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