Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: integral-1^2 xraizx^2+1 dx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Para simplificar essa integral, uma boa estratégia é fazer uma substituição que torne a expressão mais fácil de integrar. Vamos definir .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a : . Isso significa que , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral xraizx^2+1 ,dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 ,du
Aqui, reescrevemos como para facilitar a integração.

Passo 5

A integral de 12 integral u^-1/2 ,du = 12 cdot 2u^1/2 = u^1/2 = raizu em relação a é . Então, temos:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo raizu = raizx^2 + 1 por :

Passo 7

Por fim, aplicamos os limites de integração. Quando raiz5 - raiz2 , . Quando , . Então, a integral definida fica:

Resposta

A integral é igual a .

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