Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: integral2^3 x e^-x^2 dx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida de de 2 até 3. Isso faz parte do Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição pra simplificar a integral. Olha só, a gente pode escolher u = -x^2 de forma que a parte complicada da função, que é , fique mais simples. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial de dudx = -2x , ou seja, du = -2x , dx , em termos de x , dx = -12 , du . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Isso nos ajuda a expressar em termos de :

Passo 4

Vamos substituir integral2^3 x e^-x^2 , dx = integral2^3 e^u ( -12 , du ) e = -12 integral2^3 e^u , du na nossa integral original:

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para u = -(2)^2 = -4 . Quando u = -(3)^2 = -9 :
-12 integral-4^-9 e^u , du
E quando -12 times (-1) integral-9^-4 e^u , du = 12 integral-9^-4 e^u , du :
Então, nossa integral fica:
Como o limite inferior é maior que o superior, podemos trocar os limites e mudar o sinal:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral e^u , du = e^u + C :
12 [ e^-4 - e^-9 ]
Aplicando os limites:

Resposta

A integral definida é igual a:
e^-4 - e^-92

Exercícios relacionados