Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: integral0^1 x^2 e^x dx

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso faz parte do Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções, como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe partes da nossa integral para serem e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Para a nossa integral u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx , vamos escolher:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx
Então, agora temos uma nova integral para resolver.

Passo 5

Vamos resolver u = 2x Rightarrow du = 2 , dx usando novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral 2x e^x , dx = 2x e^x - integral e^x cdot 2 , dx = 2x e^x - 2 integral e^x , dx
Sabemos que 2x e^x - 2 e^x , então:

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x
Podemos fatorar e^x (x^2 - 2x + 2) :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^1 x^2 e^x , dx = [ e^x (x^2 - 2x + 2) ]0^1
Calculando para e^1 (1^2 - 2 cdot 1 + 2) = e (1 - 2 + 2) = e (1) = e :
e^0 (0^2 - 2 cdot 0 + 2) = 1 cdot (0 - 0 + 2) = 2
E para :

Resposta

Portanto, a integral vale:
integral0^1 x^2 e^x , dx = e - 2

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