Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular a integral definida de
de 0 a 1. Isso faz parte do Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções, como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, a gente escolhe partes da nossa integral para serem
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada, e
como a parte que é fácil de integrar.
Passo 3
Para a nossa integral
, vamos escolher:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Então, agora temos uma nova integral
para resolver.
Passo 5
Vamos resolver
usando novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
Passo 6
Aplicando a fórmula novamente:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calculando para
:
E para
:
Resposta
Portanto, a integral vale: