Desenhe a curva no plano determinada por r(t) = (t^2, t^3), para t no intervalo [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a curva no plano definida por , onde t varia entre -1 e 1. Aqui, estamos trabalhando com equações paramétricas, que são usadas para representar curvas no plano usando um parâmetro, no caso, o t. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular pontos da curva substituindo valores de t e, depois, plotar esses pontos no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns valores de t dentro do intervalo [-1, 1] para calcular os correspondentes valores de x e y. Vamos começar com , depois , , e .
  • Para :
    Então, o ponto é .
  • Para :
    Ponto: .
  • Para :
    Ponto: .
  • Para :
    Ponto: .
  • Para :
    Ponto: (1, 1).

Passo 3

Agora que temos alguns pontos calculados, vamos plotar esses pontos no plano cartesiano:
  • (1, 1)

Passo 4

Vamos ligar esses pontos suavemente para visualizar a curva. Observando os pontos, percebemos que quando t varia de -1 a 0, os valores de y vão de -1 a 0, e quando t vai de 0 a 1, os valores de y vão de 0 a 1. A curva resultante parece uma parábola que passa pela origem (0,0) e se estende para cima e para baixo simetricamente em relação ao eixo x.

Resposta

A curva definida por , para , é uma parábola simétrica em relação ao eixo x, passando pela origem e se estendendo de até (1, 1). Ao plotar os pontos calculados e ligar suavemente, temos uma representação gráfica clara dessa curva no plano.

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