Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: integral1^2(5 x^-4-8 x^-3) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de usando o teorema fundamental do cálculo. Basicamente, isso envolve encontrar uma antiderivada da função dentro da integral e depois avaliar essa antiderivada nos limites de 1 e 2.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a manipulação:
5 x^-4 - 8 x^-3
Isso significa que temos duas partes para integrar separadamente: e .

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de cada termo. Lembra que a antiderivada de integral 5 x^-4 dx = 5 cdot x^-4+1-4+1 = 5 cdot x^-3-3 = -53 x^-3 é , desde que .
Para o primeiro termo :

Passo 4

Agora, para o segundo termo integral -8 x^-3 dx = -8 cdot x^-3+1-3+1 = -8 cdot x^-2-2 = 4 x^-2 :

Passo 5

Agora, somamos as antiderivadas encontradas:
F(x) = -53 x^-3 + 4 x^-2

Passo 6

De acordo com o teorema fundamental do cálculo, a integral definida de 1 a 2 é igual a F(2) = -53 (2)^-3 + 4 (2)^-2 = -53 cdot 18 + 4 cdot 14 = -524 + 1 = 1924 . Vamos calcular isso:
Primeiro, calculamos F(1) = -53 (1)^-3 + 4 (1)^-2 = -53 + 4 = 73 :
Em seguida, calculamos :

Passo 7

Agora, subtraímos integral1^2(5 x^-4-8 x^-3) dx = F(2) - F(1) = 1924 - 73 = 1924 - 5624 = -3724 de :

Resposta

A integral definida é igual a .

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