Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas, especificamente o seno.
Passo 2
O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que, para calcular uma integral definida, devemos encontrar uma antiderivada da função que vamos integrar e então avaliar essa antiderivada nos limites de integração. Uma antiderivada é uma função cuja derivada é a função original.
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que a integral de é , onde é uma constante e é a constante de integração. Aqui, , então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de a . Isso significa que vamos calcular a diferença entre os valores da antiderivada nos pontos e :
Passo 5
Sabemos que cos(4pi) = 1 (já que o cosseno é uma função periódica com período 2pi) e cos(0) = 1. Substituindo esses valores na expressão:
-12 (1 - 1) = -12 times 0 = 0
Resposta
A integral integral0^2 pi sin(2x) , dx é igual a 0.