Baseado no teorema fundamental do cálculo, determinar as integrais abaixo: integral0^2 pi sen(2 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de sin(2x) no intervalo de 0 a 2pi. Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas, especificamente o seno.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que, para calcular uma integral definida, devemos encontrar uma antiderivada da função que vamos integrar e então avaliar essa antiderivada nos limites de integração. Uma antiderivada é uma função cuja derivada é a função original.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de sin(2x). Sabemos que a integral de sin(kx) , dx é -1k cos(kx) + C, onde k é uma constante e C é a constante de integração. Aqui, k = 2, então:
integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2pi. Isso significa que vamos calcular a diferença entre os valores da antiderivada nos pontos 2pi e 0:
-12 cos(2x) |0^2pi = -12 [cos(4pi) - cos(0)]

Passo 5

Sabemos que cos(4pi) = 1 (já que o cosseno é uma função periódica com período 2pi) e cos(0) = 1. Substituindo esses valores na expressão:
-12 (1 - 1) = -12 times 0 = 0

Resposta

A integral integral0^2 pi sin(2x) , dx é igual a 0.

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