Passo 1
Então, temos o exercício de calcular a integral definida de
a
de
. Essa é uma integral que envolve o cálculo integral, especificamente usando técnicas de substituição e decomposição de frações. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar frações e aplicar integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador da fração:
. Vamos tentar relacionar o numerador
com a derivada do denominador para facilitar a integração. Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Notamos que o numerador
não é igual a
, mas podemos expressar
de uma forma que envolva
. Vamos reescrever
da seguinte maneira:
Passo 4
Substituindo essa expressão de
na integral original, temos:
Que pode ser separado em duas integrais:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada parte separadamente. A primeira integral:
Perceba que o numerador é exatamente a derivada do denominador
, então essa integral é o logaritmo natural do denominador:
Passo 6
A segunda integral é:
Para resolver essa, vamos completar o quadrado no denominador:
Passo 7
Com o denominador na forma completa, a integral se torna:
Essa é uma forma padrão da integral que resulta na função arco-tangente:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes da integral original:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular a integral definida de
a
:
Substituindo
e
:
Para
:
Sabemos que
, então:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Subtraindo os valores calculados:
Portanto, a integral definida é: