integral0^1 xx^2+x+1 d x

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular a integral definida de a de . Essa é uma integral que envolve o cálculo integral, especificamente usando técnicas de substituição e decomposição de frações. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar frações e aplicar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: ddx(x^2 + x + 1) = 2x + 1 . Vamos tentar relacionar o numerador com a derivada do denominador para facilitar a integração. Calculando a derivada de em relação a :

Passo 3

Notamos que o numerador x = 2x + 12 - 12 não é igual a , mas podemos expressar de uma forma que envolva . Vamos reescrever da seguinte maneira:

Passo 4

Substituindo essa expressão de integral xx^2+x+1 , dx = integral 2x + 12 - 12x^2+x+1 , dx na integral original, temos:
12 integral 2x + 1x^2+x+1 , dx - 12 integral 1x^2+x+1 , dx
Que pode ser separado em duas integrais:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. A primeira integral:
integral 2x + 1x^2+x+1 , dx
Perceba que o numerador é exatamente a derivada do denominador ln|x^2 + x + 1| + C , então essa integral é o logaritmo natural do denominador:

Passo 6

A segunda integral é:
integral 1x^2+x+1 , dx
Para resolver essa, vamos completar o quadrado no denominador:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34

Passo 7

Com o denominador na forma completa, a integral se torna:
integral 1(x + 12)^2 + (raiz32)^2 , dx
Essa é uma forma padrão da integral que resulta na função arco-tangente:
2raiz3 tan^-1(2(x + 12)raiz3) + C

Passo 8

Agora, juntando as duas partes da integral original:
12 ln(x^2 + x + 1) - 1raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) + C

Passo 9

Finalmente, vamos calcular a integral definida de [ 12 ln(x^2 + x + 1) - 1raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) ]0^1 a 12 ln(1^2 + 1 + 1) - 1raiz3 tan^-1(2(1) + 1raiz3) = 12 ln(3) - 1raiz3 tan^-1(3raiz3) :
12 ln(3) - 1raiz3 cdot pi3 = 12 ln(3) - pi3raiz3
Substituindo 12 ln(0^2 + 0 + 1) - 1raiz3 tan^-1(2(0) + 1raiz3) = 12 ln(1) - 1raiz3 tan^-1(1raiz3) e 0 - 1raiz3 cdot pi6 = -pi6raiz3 :
Para :
Sabemos que , então:
Para :
Sabemos que e , então:

Resposta

Subtraindo os valores calculados:
( 12 ln(3) - pi3raiz3 ) - ( -pi6raiz3 ) = 12 ln(3) - pi6raiz3
Portanto, a integral definida é:
12 ln(3) - pi6raiz3

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