integral 6 x-52 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo . Isso tá relacionado ao cálculo de integrais onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão algébrica para simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o numerador pelo denominador. Queremos escrever como uma soma de um polinômio simples e uma fração menor. Para isso, dividimos por .

Passo 3

Dividindo 6x - 5 - (3 cdot (2x + 3)) = 6x - 5 - 6x - 9 = -14 por , a gente consegue . Então, multiplicamos por e subtraímos do numerador:
Então, .

Passo 4

Agora, a integral fica mais fácil de resolver:
integral 6x - 52x + 3 , dx = integral (3 - 142x + 3) , dx
Vamos separar isso em duas integrais:
integral 3 , dx - 14 integral 12x + 3 , dx

Passo 5

A primeira integral é simples:
integral 3 , dx = 3x
Já a segunda integral requer uma substituição básica. Vamos deixar , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
-14 integral 1u cdot du2 = -7 integral 1u , du = -7 ln|u| + C
Voltando para -7 ln|2x + 3| + C :

Resposta

A integral é igual a .

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