integral 1x(x+1)(2 x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de frações parciais. Vamos precisar decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. Isso significa que vamos expressar essa fração como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Assumimos que podemos escrever:
1x(x+1)(2x+3) = Ax + Bx+1 + C2x+3
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x+1)(2x+3) + Bx(2x+3) + Cx(x+1) para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Escolhemos valores estratégicos para 1 = A(0+1)(0+3) Rightarrow 1 = 3A Rightarrow A = 13 que simplificam a equação:
  • Para 1 = B(-1)(-2+3) Rightarrow 1 = B(-1)(1) Rightarrow B = -1 :
1 = C(-32)(-32+1) Rightarrow 1 = C(-32)(-12) Rightarrow 1 = 34C Rightarrow C = 43
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos 1x(x+1)(2x+3) = 1/3x - 1x+1 + 4/32x+3 , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x(x+1)(2x+3) , dx = 13 integral 1x , dx - integral 1x+1 , dx + 43 integral 12x+3 , dx

Passo 8

Calculamos cada integral:
13 ln|x| - ln|x+1| + 43 cdot 12 ln|2x+3|
Simplificando:
13 ln|x| - ln|x+1| + 23 ln|2x+3|

Resposta

A integral é igual a:
13 ln|x| - ln|x+1| + 23 ln|2x+3| + C
onde é a constante de integração.

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