integral0^1 xx^2+4 x+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e simplificar o denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, olhamos para o denominador x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2. Podemos perceber que ele pode ser fatorado ou completado o quadrado para simplificar. Vamos completar o quadrado:
integral0^1 x(x + 2)^2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = x + 2
Então, a derivada de dudx = 1 Rightarrow du = dx em relação a é:
Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 4

Com a substituição, expressamos x = u - 2 em termos de integral2^3 u - 2u^2 , du:
Substituindo tudo na integral:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
integral2^3 ( uu^2 - 2u^2 ) , du = integral2^3 ( 1u - 2u^2 ) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo. Lembrando que:
integral 1u , du = ln|u| + C
integral 1u^2 , du = -1u + C
Aplicando isso na nossa integral:
integral2^3 1u , du - 2 integral2^3 1u^2 , du = [ ln|u| ]2^3 - 2 [ -1u ]2^3

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração:
( ln 3 - ln 2 ) - 2 ( -13 + 12 )
Simplificando:
ln ( 32 ) - 2 ( 12 - 13 ) = ln ( 32 ) - 2 ( 3 - 26 ) = ln ( 32 ) - 2 ( 16 ) = ln ( 32 ) - 13

Resposta

O valor da integral é .

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