• Baseando-se na parte 1, resolva:
    a). y - 2 y' + y = t + 1

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a função . Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e métodos de resolução como o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Somando os termos e , temos:
Agora, vamos dividir todos os termos por 2 para facilitar:

Passo 3

Reescrevendo a equação, ficamos com uma forma padrão de equação diferencial linear:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante. A fórmula do fator integrante é:
onde é o coeficiente de na equação padrão . No nosso caso, , então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos resolver a integral usando integração por partes. Seja e . Então, e .

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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