- Baseando-se na parte 1, resolva:
a).
a).
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a função
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e métodos de resolução como o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Somando os termos
e
, temos:
Agora, vamos dividir todos os termos por 2 para facilitar:
Passo 3
Reescrevendo a equação, ficamos com uma forma padrão de equação diferencial linear:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante. A fórmula do fator integrante é:
onde
é o coeficiente de
na equação padrão
. No nosso caso,
, então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver a integral usando integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
c)
c)
- Defina autovalor e autovetor associado a uma matriz de uma transformação linear
Seja
a curva de interseção das superfícies
e
. Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva
no ponto
.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
i)
i)