Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
i) f(x, y) = raiz((y - x)(y + x + 2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função e representar esse domínio no plano . O conteúdo envolvido aqui é o de funções multivariáveis, especificamente trabalhando com raízes quadradas e condições para que a função esteja bem definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. No caso da nossa função, temos uma raiz quadrada, e para ela estar definida, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Então, devemos ter:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação. Temos um produto de dois termos, e . Para que o produto seja maior ou igual a zero, os dois termos devem ser ambos positivos ou ambos negativos.

Passo 4

Vamos analisar os casos:
  1. Ambos os termos são positivos:
    Simplificando:
  2. Ambos os termos são negativos:
    Simplificando:

Passo 5

Vamos desenhar essas inequações no plano :
  • A linha divide o plano em duas regiões onde e .
  • A linha também divide o plano em duas regiões onde e .
O domínio será a união das regiões onde ambas as condições de cada caso são satisfeitas.

Passo 6

Visualizando, temos duas regiões que formam uma espécie de “V” invertido:
  1. Primeira Região (Ambos positivos):
    Entre as linhas e , acima de ambas.
  2. Segunda Região (Ambos negativos):
    Entre as linhas e , abaixo de ambas.

Passo 7

Portanto, o domínio da função é composto pelos pares que estão nessas duas regiões descritas.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem e ou e . No plano , isso corresponde às regiões acima das duas linhas e abaixo delas, formando duas áreas onde a função está definida.

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