Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função
e representar esse domínio no plano
. O conteúdo envolvido aqui é o de funções multivariáveis, especificamente trabalhando com raízes quadradas e condições para que a função esteja bem definida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso da nossa função, temos uma raiz quadrada, e para ela estar definida, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Então, devemos ter:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação. Temos um produto de dois termos,
e
. Para que o produto seja maior ou igual a zero, os dois termos devem ser ambos positivos ou ambos negativos.
Passo 4
Vamos analisar os casos:
-
Ambos os termos são positivos:Simplificando:
-
Ambos os termos são negativos:Simplificando:
Passo 5
Vamos desenhar essas inequações no plano
:
- A linha
divide o plano em duas regiões onde e . - A linha
também divide o plano em duas regiões onde e .
O domínio será a união das regiões onde ambas as condições de cada caso são satisfeitas.
Passo 6
Visualizando, temos duas regiões que formam uma espécie de “V” invertido:
-
Primeira Região (Ambos positivos):
Entre as linhase , acima de ambas. -
Segunda Região (Ambos negativos):
Entre as linhase , abaixo de ambas.
Passo 7
Portanto, o domínio da função
é composto pelos pares
que estão nessas duas regiões descritas.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
e
ou
e
. No plano
, isso corresponde às regiões acima das duas linhas e abaixo delas, formando duas áreas onde a função está definida.
Exercícios relacionados
Seja
a curva de interseção das superfícies
e
. Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva
no ponto
.
- Baseando-se na parte 1, resolva:
a).
Sabendo-se que
representa a declinação magnética, em
, do ponto
de uma superfície plana em algum lugar no planeta Terra. Pede-se:
a) A declinação magnética do ponto
a) A declinação magnética do ponto
Seja
.
Detemine e esboce a curva de nível .
Detemine e esboce a curva de nível