Seja C a curva de interseção das superfícies y = x^2 e z = x^3. Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva C no ponto p = (-1, 1, -1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a parametrização da reta tangente a uma curva no espaço. A curva C é a interseção das superfícies e . Queremos encontrar a reta tangente a C no ponto . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas no espaço e como encontrar vetores tangentes a essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Sabemos que e . Podemos usar x como o parâmetro. Assim, a parametrização da curva fica:
Aqui, representa a posição de um ponto na curva C para um valor específico de x.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente à curva no ponto , precisamos calcular o vetor tangente à curva nesse ponto. O vetor tangente é dado pela derivada da parametrização em relação a x.
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto , que corresponde ao ponto p:
Este vetor é o vetor tangente à curva C no ponto .

Passo 5

Com o ponto p e o vetor tangente, podemos parametrizar a reta tangente. A forma geral da parametrização de uma reta no espaço é:
Onde p é o ponto de passagem e v é o vetor diretor (neste caso, o vetor tangente).
Substituindo os valores:

Resposta

A parametrização da reta tangente à curva C no ponto é:

Exercícios relacionados

  • Baseando-se na parte 1, resolva:
    a). y - 2 y' + y = t + 1
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
c) f(x, y) = (x + 5y + 11) / raiz(4)(y + x^2 + 5x) + 9 * raiz(2x + 6 - y)
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
i) f(x, y) = raiz((y - x)(y + x + 2))
Sabendo-se que D(x, y) = 2y + 3x^2 - 2x + 4 representa a declinação magnética, em °, do ponto (x, y) de uma superfície plana em algum lugar no planeta Terra. Pede-se:
a) A declinação magnética do ponto (4, -16)