Seja C a curva de interseção das superfícies y = x^2 e z = x^3. Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva C no ponto p = (-1, 1, -1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a parametrização da reta tangente a uma curva no espaço. A curva C é a interseção das superfícies e . Queremos encontrar a reta tangente a C no ponto . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas no espaço e como encontrar vetores tangentes a essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Sabemos que e . Podemos usar x como o parâmetro. Assim, a parametrização da curva fica:
Aqui, representa a posição de um ponto na curva C para um valor específico de x.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente à curva no ponto , precisamos calcular o vetor tangente à curva nesse ponto. O vetor tangente é dado pela derivada da parametrização em relação a x.
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto , que corresponde ao ponto p:
Este vetor é o vetor tangente à curva C no ponto .

Passo 5

Com o ponto p e o vetor tangente, podemos parametrizar a reta tangente. A forma geral da parametrização de uma reta no espaço é:
Onde p é o ponto de passagem e v é o vetor diretor (neste caso, o vetor tangente).
Substituindo os valores:

Resposta

A parametrização da reta tangente à curva C no ponto é:

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