Seja
a curva de interseção das superfícies
e
. Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a parametrização da reta tangente a uma curva no espaço. A curva
é a interseção das superfícies
e
. Queremos encontrar a reta tangente a
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas no espaço e como encontrar vetores tangentes a essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Sabemos que
e
. Podemos usar
como o parâmetro. Assim, a parametrização da curva fica:
Aqui,
representa a posição de um ponto na curva
para um valor específico de
.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente à curva no ponto
, precisamos calcular o vetor tangente à curva nesse ponto. O vetor tangente é dado pela derivada da parametrização em relação a
.
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
, que corresponde ao ponto
:
Este vetor
é o vetor tangente à curva
no ponto
.
Passo 5
Com o ponto
e o vetor tangente, podemos parametrizar a reta tangente. A forma geral da parametrização de uma reta no espaço é:
Onde
é o ponto de passagem e
é o vetor diretor (neste caso, o vetor tangente).
Substituindo os valores:
Resposta
A parametrização da reta tangente à curva
no ponto
é:
Exercícios relacionados
- Baseando-se na parte 1, resolva:
a).
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
c)
c)
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
i)
i)
Sabendo-se que
representa a declinação magnética, em
, do ponto
de uma superfície plana em algum lugar no planeta Terra. Pede-se:
a) A declinação magnética do ponto
a) A declinação magnética do ponto