Um bastão de bronze
com seção transversal quadrada e comprimento
é fixado entre dois dissipadores de calor isotérmicos a uma temperatura
. O perímetro do bastão é igual a
. Quando um fluido escoa transversalmente ao bastão a
, o valor medido da temperatura do cilindro no ponto médio entre as duas extremidades é igual a
. Determine o valor do coeficiente de convecção entre o fluido e a barra e a taxa de perda de calor por convecção através desta barra.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um bastão de bronze com certa condutividade térmica, comprimento e perímetro específicos, fixado entre dois dissipadores de calor a uma temperatura constante de
. Um fluido passa ao redor do bastão a
e, no meio do bastão, a temperatura medida é
. Precisamos descobrir duas coisas:
- O coeficiente de convecção
entre o fluido e a barra. - A taxa de perda de calor por convecção através do bastão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor (Lei de Fourier) e convecção de calor. Também vamos precisar manipular algumas equações matemáticas para encontrar as respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condução de calor ao longo do bastão. A Lei de Fourier para condução de calor em regime estacionário é dada por:
Onde:
-
é a taxa de condução de calor, -
é a condutividade térmica do material, -
é a área da seção transversal, -
é o gradiente de temperatura.
Como o bastão tem seção transversal quadrada e perímetro
, podemos encontrar o lado da seção:
A área da seção transversal é então:
Passo 3
Agora, vamos considerar a perda de calor por convecção ao longo do bastão. A taxa de perda de calor por convecção é dada por:
Onde:
-
é a taxa de perda de calor por convecção, -
é o coeficiente de convecção, -
é o perímetro do bastão, -
é a temperatura da superfície do bastão, -
é a temperatura do fluido.
No regime estacionário, a taxa de condução de calor deve ser igual à taxa de perda por convecção:
Substituindo as expressões:
Passo 4
Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura ao longo do bastão. Considerando que a temperatura no ponto médio
é
, temos:
A solução da equação diferencial para temperatura é uma função linear devido à condição de equilíbrio. Assim, podemos escrever:
No ponto médio
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos a taxa de condução de calor, podemos encontrar o coeficiente de convecção
. Usando a igualdade
:
Resposta
O coeficiente de convecção entre o fluido e a barra é aproximadamente
e a taxa de perda de calor por convecção através da barra é
.