Um bastão de bronze (kB=50 W /(m K)) com seção transversal quadrada e comprimento L=120 mm é fixado entre dois dissipadores de calor isotérmicos a uma temperatura To=55^circ C. O perímetro do bastão é igual a P=12 mm. Quando um fluido escoa transversalmente ao bastão a Tinfty=19^circ C, o valor medido da temperatura do cilindro no ponto médio entre as duas extremidades é igual a T méd =40^circ Cé. Determine o valor do coeficiente de convecção entre o fluido e a barra e a taxa de perda de calor por convecção através desta barra.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um bastão de bronze com certa condutividade térmica, comprimento e perímetro específicos, fixado entre dois dissipadores de calor a uma temperatura constante de . Um fluido passa ao redor do bastão a e, no meio do bastão, a temperatura medida é é. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. O coeficiente de convecção entre o fluido e a barra.
  2. A taxa de perda de calor por convecção através do bastão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor (Lei de Fourier) e convecção de calor. Também vamos precisar manipular algumas equações matemáticas para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condução de calor ao longo do bastão. A Lei de Fourier para condução de calor em regime estacionário é dada por:
qcond = -k A dTdx
Onde:
  • a = P4 = 12 , mm4 = 3 , mm = 0,003 , m é a taxa de condução de calor,
  • A = a^2 = (0,003 , m)^2 = 9 times 10^-6 , m^2 é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é o gradiente de temperatura.
Como o bastão tem seção transversal quadrada e perímetro , podemos encontrar o lado da seção:
A área da seção transversal é então:

Passo 3

Agora, vamos considerar a perda de calor por convecção ao longo do bastão. A taxa de perda de calor por convecção é dada por:
qconv = h P (T - Tinfty)
Onde:
  • qcond = qconv é a taxa de perda de calor por convecção,
  • -k A dTdx = h P (T - Tinfty) é o coeficiente de convecção,
  • é o perímetro do bastão,
  • é a temperatura da superfície do bastão,
  • é a temperatura do fluido.
No regime estacionário, a taxa de condução de calor deve ser igual à taxa de perda por convecção:
Substituindo as expressões:

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura ao longo do bastão. Considerando que a temperatura no ponto médio T(x) = To - qcondk A x é 40 = 55 - qcond50 times 9 times 10^-6 times 0,1202 é, temos:
A solução da equação diferencial para temperatura é uma função linear devido à condição de equilíbrio. Assim, podemos escrever:
40 = 55 - qcond50 times 9 times 10^-6 times 0,060
No ponto médio -15 = - qcond times 0,06050 times 9 times 10^-6 :
15 = qcond times 0,06050 times 9 times 10^-6
Resolvendo para qcond = 15 times 50 times 9 times 10^-60,060 = 1,125 times 10^-2 , W :

Passo 5

Agora que temos a taxa de condução de calor, podemos encontrar o coeficiente de convecção 1,125 times 10^-2 = h times 0,012 times (40 - 19) . Usando a igualdade 1,125 times 10^-2 = h times 0,012 times 21 :
1,125 times 10^-2 = h times 0,252
h = 1,125 times 10^-20,252 approx 0,0446 , W/(m^2K)

Resposta

O coeficiente de convecção entre o fluido e a barra é aproximadamente e a taxa de perda de calor por convecção através da barra é .

Exercícios relacionados