Um bastão de bronze com seção transversal quadrada e comprimento é fixado entre dois dissipadores de calor isotérmicos a uma temperatura . O perímetro do bastão é igual a . Quando um fluido escoa transversalmente ao bastão a , o valor medido da temperatura do cilindro no ponto médio entre as duas extremidades é igual a é. Determine o valor do coeficiente de convecção entre o fluido e a barra e a taxa de perda de calor por convecção através desta barra.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um bastão de bronze com certa condutividade térmica, comprimento e perímetro específicos, fixado entre dois dissipadores de calor a uma temperatura constante de . Um fluido passa ao redor do bastão a e, no meio do bastão, a temperatura medida é é. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. O coeficiente de convecção entre o fluido e a barra.
  2. A taxa de perda de calor por convecção através do bastão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor (Lei de Fourier) e convecção de calor. Também vamos precisar manipular algumas equações matemáticas para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condução de calor ao longo do bastão. A Lei de Fourier para condução de calor em regime estacionário é dada por:
Onde:
  • é a taxa de condução de calor,
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é o gradiente de temperatura.
Como o bastão tem seção transversal quadrada e perímetro , podemos encontrar o lado da seção:
A área da seção transversal é então:

Passo 3

Agora, vamos considerar a perda de calor por convecção ao longo do bastão. A taxa de perda de calor por convecção é dada por:
Onde:
  • é a taxa de perda de calor por convecção,
  • é o coeficiente de convecção,
  • é o perímetro do bastão,
  • é a temperatura da superfície do bastão,
  • é a temperatura do fluido.
No regime estacionário, a taxa de condução de calor deve ser igual à taxa de perda por convecção:
Substituindo as expressões:

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura ao longo do bastão. Considerando que a temperatura no ponto médio é é, temos:
A solução da equação diferencial para temperatura é uma função linear devido à condição de equilíbrio. Assim, podemos escrever:
No ponto médio :
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos a taxa de condução de calor, podemos encontrar o coeficiente de convecção . Usando a igualdade :

Resposta

O coeficiente de convecção entre o fluido e a barra é aproximadamente e a taxa de perda de calor por convecção através da barra é .

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