Para melhorar a dissipação térmica num chip de silício quadrado, com W=15 mm de lado, uma aleta em forma de pino metálico com condutividade térmica k=68 W /(m cdot k), é fundida à superfície do chip. O comprimento do pino é L=18 mm e o diâmetro é d=4 mm. Ar atmosférico escoa sobre a superfície superior do chip e está em escoamento cruzado em relação ao pino, com h=210 W /(m^2 K) e Tinfty=285 K. A superfície do chip e, portanto, a base do pino, são mantidas a uma temperatura de Tb=370 K.
a) Determine a eficiência e a efetividade dessa aleta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre melhorar a dissipação de calor num chip de silício usando uma aleta metálica. A matéria envolve transferência de calor por fin e precisamos calcular a eficiência e a efetividade dessa aleta. Para isso, vamos utilizar fórmulas de transferência de calor e entender como a aleta ajuda a dispersar o calor do chip.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação: temos um chip quadrado de silício com lado . A aleta é como um pino metálico com comprimento e diâmetro , feita de um material com condutividade térmica . O ar passa por cima dessa aleta com um coeficiente de transferência de calor . A base da aleta está a uma temperatura e o ar ao redor está a .

Passo 3

Vamos calcular a eficiência da aleta. A eficiência ( eta = tanh(mL)mL ) mede o quão bem a aleta conduz calor comparado com uma aleta ideal (sem perdas). A fórmula para a eficiência de uma aleta cilíndrica é:
m = raizhPkAc
onde é dado por:
Aqui, é o perímetro e é a área da seção transversal da aleta.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o perímetro P = pi d = pi times 0.004 m approx 0.01257 m e a área Ac = pi d^24 = pi times (0.004)^24 approx 1.257 times 10^-4 m^2 da aleta cilíndrica.

Passo 5

Agora, calculamos m = raizhPkAc = raiz210 times 0.0125768 times 1.257 times 10^-4 approx raiz2.6400.00856 approx raiz308.4 approx 17.56 m^-1 :

Passo 6

Com o valor de L = 0.018 m , vamos calcular mL = 17.56 times 0.018 approx 0.316 :

Passo 7

Agora, aplicamos na fórmula da eficiência:
eta = tanh(0.316)0.316
Calculando o hiperbolico:
tanh(0.316) approx 0.305
eta = 0.3050.316 approx 0.966 ou 96.6%

Passo 8

Agora vamos para a efetividade da aleta ( varepsilon = Qh Ab De). A efetividade mede quanto calor a aleta realmente transfere comparado com o máximo possível. A fórmula é:
onde é o calor transferido, é a área base da aleta, e .

Passo 9

Primeiro, calculamos De:
Ab = Ac = 1.257 times 10^-4 m^2
A área base da aleta é igual à área da seção transversal:

Passo 10

O calor transferido Q = eta times Qideal = eta times h Ab De pode ser calculado usando a eficiência:
varepsilon = Qh Ab De
Portanto,

Resposta

A eficiência da aleta é aproximadamente 96,6% e a efetividade também é 96,6%.

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