Para melhorar a dissipação térmica num chip de silício quadrado, com W=15 mm de lado, uma aleta em forma de pino metálico com condutividade térmica k=68 W /(m cdot k), é fundida à superfície do chip. O comprimento do pino é L=18 mm e o diâmetro é d=4 mm. Ar atmosférico escoa sobre a superfície superior do chip e está em escoamento cruzado em relação ao pino, com h=210 W /(m^2 K) e Tinfty=285 K. A superfície do chip e, portanto, a base do pino, são mantidas a uma temperatura de Tb=370 K.
c) Determine a temperatura da aleta nas seguintes posições em relação a base: 3 mm ; 10 mm e 18 mm .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um chip de silício quadrado com uma aleta metálica (tipo um pino) colada na superfície. Esse pino ajuda a dissipar o calor do chip para o ambiente. Queremos saber qual é a temperatura da aleta em três pontos diferentes: 3 mm, 10 mm e 18 mm a partir da base onde ela está conectada ao chip.
Aqui, vamos usar conceitos de condução de calor na aleta e a troca de calor por convecção com o ar ao redor. Precisamos das propriedades do material da aleta, as dimensões dela, e os parâmetros do fluxo de ar para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação básica que descreve como a temperatura varia ao longo de uma aleta que está perdendo calor por convecção. Essa equação é:
d^2 Tdx^2 - hPkAc(T - Tinfty) = 0
Aqui:
  • é a temperatura na posição da aleta,
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é o perímetro da aleta,
  • é a condutividade térmica do material da aleta,
  • é a área de seção transversal da aleta,
  • é a temperatura do ar ambiente.

Passo 3

Vamos calcular a área de seção transversal Ac = pi (d2)^2 e o perímetro P = pi d da aleta. A aleta é um cilindro, então:
Ac = pi (0,0042)^2 = pi (0,002)^2 = pi times 4 times 10^-6 approx 1,2566 times 10^-5 m^2
P = pi times 0,004 approx 0,012566 m
Dado que o diâmetro :

Passo 4

Agora, vamos calcular o parâmetro m = raizhPkAc , que é dado por:
m = raiz210 times 0,01256668 times 1,2566 times 10^-5 = raiz2,639860,00085321 approx raiz3089,37 approx 55,56 m^-1
Substituindo os valores:

Passo 5

A solução geral para a temperatura ao longo da aleta é:
T(x) = Tinfty + (Tb - Tinfty) cosh(m(L - x))cosh(mL)
Onde:
  • é o comprimento total da aleta,
  • é a temperatura na base,
  • é a temperatura ambiente.

Passo 6

Vamos calcular mL = 55,56 times 0,018 approx 1 primeiro:
cosh(1) approx 1,5431
m(L - x) = 55,56 times (0,018 - 0,003) = 55,56 times 0,015 = 0,8334
Agora, vamos calcular a temperatura nos pontos desejados.
Para cosh(0,8334) approx 1,429 :
T(0,003) = 285 + (370 - 285) 1,4291,5431 approx 285 + 85 times 0,926 approx 285 + 78,71 approx 363,71 K
m(L - x) = 55,56 times (0,018 - 0,010) = 55,56 times 0,008 = 0,4445
cosh(0,4445) approx 1,101
Para T(0,010) = 285 + 85 times 1,1011,5431 approx 285 + 85 times 0,714 approx 285 + 60,69 approx 345,69 K :
m(L - x) = 55,56 times (0,018 - 0,018) = 0
cosh(0) = 1
T(0,018) = 285 + 85 times 11,5431 approx 285 + 85 times 0,649 approx 285 + 55,13 approx 340,13 K
Para :

Resposta

A temperatura da aleta nas posições solicitadas é aproximadamente:
  • 3 mm:
  • 10 mm:
  • 18 mm:

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