Um disco circular de raio está carregado com uma densidade superficial de carga . Demonstre que a intensidade do potencial elétrico em um ponto sobre o seu eixo afastado de do seu centro é dado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco circular com raio , carregado com uma densidade superficial de carga . A pergunta é: qual é a intensidade do potencial elétrico em um ponto que está sobre o eixo do disco, a uma distância do centro? Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potencial elétrico e distribuição de cargas. Vamos precisar entender como calcular o potencial devido a uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico () devido a uma carga pontual em um ponto distante é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como o disco é simétrico e estamos calculando o potencial em um ponto ao longo do eixo do disco, podemos dividir o disco em anéis concêntricos de raio variável. Cada anel tem uma pequena largura e um raio . A carga em cada anel, , pode ser expressa em termos da densidade superficial de carga :
Isso vem do fato de que a área de um anel é .
Passo 4
Para encontrar o potencial total no ponto a uma distância do centro, vamos integrar o potencial de todos esses anéis desde até . A distância de cada ponto no anel até o ponto onde estamos calculando o potencial é:
Então, o potencial devido a um anel é:
Passo 5
Simplificando a expressão de :
Agora, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o potencial total :
Passo 6
Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, . A integral fica:
Resposta
Portanto, a intensidade do potencial elétrico no ponto sobre o eixo a uma distância do centro do disco é: