Um disco circular de raio está carregado com uma densidade superficial de carga . Demonstre que a intensidade do potencial elétrico em um ponto sobre o seu eixo afastado de do seu centro é dado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco circular com raio , carregado com uma densidade superficial de carga . A pergunta é: qual é a intensidade do potencial elétrico em um ponto que está sobre o eixo do disco, a uma distância do centro? Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potencial elétrico e distribuição de cargas. Vamos precisar entender como calcular o potencial devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico ( ) devido a uma carga pontual em um ponto distante é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como o disco é simétrico e estamos calculando o potencial em um ponto ao longo do eixo do disco, podemos dividir o disco em anéis concêntricos de raio variável. Cada anel tem uma pequena largura e um raio . A carga em cada anel, , pode ser expressa em termos da densidade superficial de carga :
Isso vem do fato de que a área de um anel é .

Passo 4

Para encontrar o potencial total no ponto a uma distância do centro, vamos integrar o potencial de todos esses anéis desde até . A distância de cada ponto no anel até o ponto onde estamos calculando o potencial é:
Então, o potencial devido a um anel é:

Passo 5

Simplificando a expressão de :
Agora, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o potencial total :

Passo 6

Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, . A integral fica:

Resposta

Portanto, a intensidade do potencial elétrico no ponto sobre o eixo a uma distância do centro do disco é:

Exercícios relacionados

Um bastão fino com densidade linear de carga uniforme está no eixo entre . Mostre que o componente do campo elétrico em um ponto na o eixo y é dado por
onde é o ângulo entre o eixo e reta que conecta o ponto e a extremidade do bastão em .
Um campo elétrico é dado por em que e . (a) Calcule a intensidade do potencial elétrico produzido
em um ponto qualquer, sabendo que ele deve ser zero na origem. (b) Calcule a intensidade do trabalho efetuado pelo campo elétrico para deslocar uma carga do ponto (1,2) até o ponto do plano cartesiano. A localização dos pontos é dada em metro. © Calcule o valor da densidade volumétrica de carga na região.
(a) Calcule a intensidade do potencial elétrico produzido em por uma carga pontual . (b) Calcule a intensidade do trabalho que realiza sobre uma carga para deslocá-la de até .
Duas cargas pontuais positivas, cada uma com intensidade , estão fixas no eixo nos pontos e . (a) Calcule a intensidade do potencial elétrico na origem do sistema de coordenadas. (b) Mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo é . © Esboce o gráfico do potencial elétrico em função da coordenada para . (d) Para qual valor de o potencial elétrico é
a metade do valor produzido na origem? (e) Calcule a intensidade do campo elétrico com o resultado do item (b).