Um disco circular de raio a está carregado com uma densidade superficial de carga sigma. Demonstre que a intensidade do potencial elétrico em um ponto sobre o seu eixo afastado de h do seu centro é dado por V=sigma2 epsilon0[raizh^2+a^2-h].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco circular com raio a, carregado com uma densidade superficial de carga sigma. A pergunta é: qual é a intensidade do potencial elétrico em um ponto que está sobre o eixo do disco, a uma distância h do centro? Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potencial elétrico e distribuição de cargas. Vamos precisar entender como calcular o potencial devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico ( V) devido a uma carga pontual dq em um ponto distante r é dado por:
V = 14piepsilon0 cdot dqr
Aqui, epsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como o disco é simétrico e estamos calculando o potencial em um ponto ao longo do eixo do disco, podemos dividir o disco em anéis concêntricos de raio variável. Cada anel tem uma pequena largura dr e um raio r. A carga em cada anel, dq, pode ser expressa em termos da densidade superficial de carga sigma:
dq = sigma cdot 2pi r , dr
Isso vem do fato de que a área de um anel é 2pi r , dr.

Passo 4

Para encontrar o potencial total no ponto a uma distância h do centro, vamos integrar o potencial de todos esses anéis desde r = 0 até r = a. A distância de cada ponto no anel até o ponto onde estamos calculando o potencial é:
R = raizh^2 + r^2
Então, o potencial devido a um anel é:
dV = 14piepsilon0 cdot dqR = 14piepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r , drraizh^2 + r^2

Passo 5

Simplificando a expressão de dV:
dV = sigma2epsilon0 cdot r , drraizh^2 + r^2
Agora, vamos integrar essa expressão de r = 0 até r = a para encontrar o potencial total V:
V = integral0^a sigma2epsilon0 cdot r , drraizh^2 + r^2

Passo 6

Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Seja u = h^2 + r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = du2. A integral fica:
V = sigma2epsilon0 cdot 12 integralh^2^h^2 + a^2 duraizu
V = sigma4epsilon0 cdot 2raizu |h^2^h^2 + a^2
V = sigma2epsilon0 ( raizh^2 + a^2 - raizh^2 )
V = sigma2epsilon0 ( raizh^2 + a^2 - h )

Resposta

Portanto, a intensidade do potencial elétrico no ponto sobre o eixo a uma distância h do centro do disco é:
V = sigma2 epsilon0 [ raizh^2 + a^2 - h ]

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