Um bastão muito longo de cobre ( k cobre =398 W / m K ), com 5 mm de diâmetro, tem a base mantida a 100^circ C. A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a 25^circ C, com um coeficiente de transferência de calor por conveção de 100 W / m^2.K. Determine: A temperatura se o bastão tem 0,2m de comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bastão longo de cobre com diâmetro de 5 mm, base aquecida a 100°C e a superfície exposta ao ar a 25°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção é de 100 W/m².K. Queremos descobrir qual é a temperatura em um ponto que está a 0,2 metros de comprimento desse bastão. Vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção para resolver isso. Precisaremos das propriedades térmicas do cobre e das fórmulas que relacionam condução e convecção de calor.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o calor está fluindo ao longo do bastão por condução e, ao mesmo tempo, parte desse calor está sendo perdido para o ambiente por convecção na superfície. Para modelar isso, usamos a equação de equilíbrio de energia em regime permanente, que combina condução e convecção.

Passo 3

Vamos considerar que a transferência de calor por condução no bastão é dada pela lei de Fourier:
d^2Tdx^2 = hPkA (T - Tinfty)
onde:
  • é a temperatura no ponto analisado,
  • é a temperatura ambiente (25°C),
  • é o coeficiente de convecção (100 W/m².K),
  • é o perímetro da seção transversal do bastão,
  • é a condutividade térmica do cobre (398 W/m.K),
  • é a área da seção transversal.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o perímetro P = pi d = pi times 0,005 , m approx 0,0157 , m e a área A = pi d^24 = pi times (0,005)^24 approx 1,9635 times 10^-4 , m^2 da seção transversal do bastão. O diâmetro d^2Tdx^2 = 100 times 0,0157398 times 1,9635 times 10^-4 (T - 25) é 5 mm, ou 0,005 m.
100 times 0,0157398 times 1,9635 times 10^-4 approx 1,570,0783 approx 20
d^2Tdx^2 = 20 (T - 25)
Agora, substituindo na equação diferencial:
Calculando o coeficiente:
Então, a equação fica:

Passo 5

Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
T(x) = C1 e^raiz20x + C2 e^-raiz20x + 25
Onde 100 = C1 + C2 + 25 C1 + C2 = 75 e T(x) = 75 e^-raiz20x + 25 são constantes que determinamos com as condições de contorno. Sabemos que na base ( T(0,2) = 75 e^-raiz20 times 0,2 + 25 ), a temperatura é 100°C:
T(0,2) = 75 e^-4,4721 times 0,2 + 25 T(0,2) = 75 e^-0,8944 + 25 T(0,2) approx 75 times 0,4094 + 25 T(0,2) approx 30,705 + 25 T(0,2) approx 55,705°C
Como o bastão é muito longo, a temperatura deve se estabilizar à medida que aumenta, então podemos assumir que (pois tende a infinito, o que não faz sentido fisicamente). Assim, .
Então, a expressão da temperatura é:
Agora, substituímos m:
Calculando :

Resposta

A temperatura a 0,2 metros do início do bastão é aproximadamente 55,7°C.

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