Um bastão muito longo de cobre (
), com 5 mm de diâmetro, tem a base mantida a
. A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a
, com um coeficiente de transferência de calor por conveção de
.K. Determine: A temperatura se o bastão tem 0,2m de comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um bastão longo de cobre com diâmetro de 5 mm, base aquecida a 100°C e a superfície exposta ao ar a 25°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção é de 100 W/m².K. Queremos descobrir qual é a temperatura em um ponto que está a 0,2 metros de comprimento desse bastão. Vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção para resolver isso. Precisaremos das propriedades térmicas do cobre e das fórmulas que relacionam condução e convecção de calor.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o calor está fluindo ao longo do bastão por condução e, ao mesmo tempo, parte desse calor está sendo perdido para o ambiente por convecção na superfície. Para modelar isso, usamos a equação de equilíbrio de energia em regime permanente, que combina condução e convecção.
Passo 3
Vamos considerar que a transferência de calor por condução no bastão é dada pela lei de Fourier:
onde:
-
é a temperatura no ponto analisado, -
é a temperatura ambiente (25°C), -
é o coeficiente de convecção (100 W/m².K), -
é o perímetro da seção transversal do bastão, -
é a condutividade térmica do cobre (398 W/m.K), -
é a área da seção transversal.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o perímetro
e a área
da seção transversal do bastão. O diâmetro
é 5 mm, ou 0,005 m.
Agora, substituindo na equação diferencial:
Calculando o coeficiente:
Então, a equação fica:
Passo 5
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Onde
e
são constantes que determinamos com as condições de contorno. Sabemos que na base (
), a temperatura é 100°C:
Como o bastão é muito longo, a temperatura deve se estabilizar à medida que
aumenta, então podemos assumir que
(pois
tende a infinito, o que não faz sentido fisicamente). Assim,
.
Então, a expressão da temperatura é:
Agora, substituímos
m:
Calculando
:
Resposta
A temperatura a 0,2 metros do início do bastão é aproximadamente 55,7°C.
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. (R:
).
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, e o coeficiente de transferência de calor sobre a superfície é
.K. Determine a taxa de transferência de calor a partir da superfície da seção da placa de
. Determine também a eficácia global das aletas.
Um bastão muito longo de cobre (
), com 5 mm de diâmetro, tem a base mantida a
. A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a
, com um coeficiente de transferência de calor por conveção de
.K. Determine: A perda de calor para cada material.