Um ovo comum pode ser considerado uma esfera com diâmetro de 5 cm . O ovo está inicialmente a uma temperatura uniforme de 5^circ C e é colocado na água fervendo a 95^circ C. Tomando o coeficiente de transferência de calor por convecção h=1.200 W /(m^2 ^circ C), determine quanto tempo será necessário para que o centro do ovo chegue a 70^circ C. (R: 8 6 5 s, 1 4 , 4 m i n ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transferência de calor! A gente tem um ovo, que está inicialmente a 5°C, sendo colocado em água fervente a 95°C. O objetivo é descobrir quanto tempo leva para o centro do ovo atingir 70°C. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em materiais esféricos e a fórmula de tempo característico para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o ovo pode ser modelado como uma esfera com diâmetro de 5 cm. Isso significa que o raio do ovo é de 2,5 cm ou 0,025 metros. A diferença de temperatura entre a água e o ovo cria um fluxo de calor que vai aquecendo o ovo de fora para o centro.

Passo 3

A gente vai usar a equação de tempo característico para condução de calor em esferas, que é dada por:
Onde:
  • t = r^2alpha cdot ln(Tágua - TinicialTágua - Tfinal) é o tempo que queremos encontrar,
  • é o raio da esfera,
  • é a difusividade térmica do material,
  • á é a temperatura da água,
  • é a temperatura inicial do ovo,
  • é a temperatura final que queremos no centro do ovo.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a difusividade térmica alpha = krho cp . Para isso, usamos a relação com o coeficiente de transferência de calor por convecção t = rho cp r^2k cdot ln(Tágua - TinicialTágua - Tfinal) :
Mas como não temos , e do ovo, vamos considerar que a expressão simplificada para o tempo de aquecimento de um sólido esférico é:
Assumindo que esses valores são conhecidos ou que estamos usando uma aproximação simplificada com o coeficiente .

Passo 5

Considerando que a transferência de calor é governada pela convecção na superfície do ovo, a gente pode usar a seguinte equação integrada para o tempo:
t = rho cp rh cdot (Tágua - TinicialTágua - Tfinal) áá
Mas, na prática, para esse tipo de problema, a solução mais comum usa a equação de Newton para resfriamento, adaptada para o centro do ovo:
t = (r)^2alpha cdot ln(Tágua - TinicialTágua - Tfinal) áá
Vamos precisar dos valores de . Supondo que a difusividade térmica do ovo seja aproximadamente .

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação:
t = (0.025)^21.4 times 10^-7 cdot ln(95 - 595 - 70)
Calculando o logaritmo:
ln(9025) = ln(3.6) approx 1.28

Passo 7

Continuando o cálculo:
t = 0.0006251.4 times 10^-7 cdot 1.28 approx 0.0006250.00000014 cdot 1.28 approx 4464.29 cdot 1.28 approx 5715.43 , segundos
Isso dá aproximadamente 5715 segundos.

Resposta

O tempo necessário para que o centro do ovo chegue a é de aproximadamente 5715 segundos, o que equivale a cerca de 1 hora e 35 minutos.

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